Контраст дифракционной картины

Проблема использования стандартного определения понятия контраста ДК связана со спецификой изменения интенсивности: она с одной стороны асимптотически затухает с большой скоростью, причем для разных направлений скорость затухания может отличаться, а с другой стороны изменяется и сам вид ДК. Для характеристики качества ДК необходимо уменьшить количество ее информационных параметров. И, в первую очередь, нужно устранить параметр ДК, связанный со скоростью затухания, что позволит представить ее в более регулярном виде, упростить процесс регистрации и дальнейшего преобразования. Наиболее оптимальными вариантами уменьшения диапазона интенсивностей в ДК являются различные способы оптической пространственной фильтрации.

Наиболее часто закон пропускания фильтра выбирается из условия выравнивания распределения интенсивности в пределах всего регистрируемого спектра. В результате этой операции распределение интенсивности в ДК за фильтром приобретает синусоидальный вид.

Распределение интенсивности в сечении выровненной ДК можно представить в следующем виде

Синусоидальное распределение интенсивности вызывает «перераспределение» энергии в спектре сигнала. Фурье-спектр выровненной ДК имеет две ярко выраженные линии, соответствующие нулевой пространственной частоте и основному периоду выровненной ДК (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Фурье-спектр выровненной ДК

Спектр выровненного распределения интенсивности уже является интегральной характеристикой сечения ДК и существенно не зависит от числа регистрируемых дифракционных лепестков.

Типовые объекты дифракции, как показано выше, имеют Фурье-спектр, который условно можно представить в виде произведения гармонической функции на функцию, определяющую затухание спектра. Преобразование распределения интенсивности невозмущенной ДК (выравнивание) приводит ее к виду аналогичному распределению интенсивности при интерференции двух плоских волн.

Эту аналогию можно было бы использовать для оценки контраста.

Но, в силу того, что влияние возмущений облучающего поля и вида объекта различным образом сказываются на амплитуде дифракционных порядков, непосредственно использовать выровненный спектр в соответствии с формулой контраста

представляется затруднительным.

В силу специфики образования ДК в ней, в отличие от случая двухлучевой интерференции, нельзя рассматривать контраст по полю и в точке, а можно использовать только интегральную оценку качества ДК. В качестве такой оценки можно использовать амплитуды частот Фурье-спектра выровненной ДК. Фурье-спектр выровненной ДК имеет линейчатую структуру. В нем можно выделить нулевую гармонику и гармонику, соответствующую основному пространственному периоду ДК.

Для оценки величины контраста воспользуемся отношением амплитуд гармоник. Для невозмущенной выровненной ДК, имеющей вид гармонической составляющей умноженной на прямоугольный импульс, амплитуда нулевой гармоники Фурье-спектра в два раза превосходит амплитуду гармоники, соответствующую основному пространственному периоду. Для сохранения общепринятого диапазона изменения величины контраста в интерференционной картине введем множитель, равный двум. Тогда величина контраста будет равна

, где I0 и I1, соответственно амплитуды модуля Фурье-спектра нулевой и основной гармоник Фурье-спектра выровненной ДК (см. рис. 4.1).

Сопоставим величину контраста, получаемую по предлагаемому способу и контраст интерференционной картины в интерферометре Юнга. В интерферометре Юнга степень когерентности поля излучения оценивают по контрасту интерференционной картины, который, как правило, определяют в точке поля. Если интенсивности интерферирующих пучков равны, то степень когерентности поля излучения равна контрасту интерференционной картины (рис. 4.2). Распределение интенсивности при дифракции частично когерентного излучения на двух круглых отверстиях радиуса a

,

где угловой размер источника излучения, d – расстояние между отверстиями, β12 = argμ₁₂, μ₁₂ – степень когерентности.

Рис. 4.2. Функция когерентности для источника круглой формы единичного радиуса

Преобразовав распределение интенсивности, получим:

Выполним Фурье-преобразование выровненного распределения интенсивности

и найдем отношение амплитуд гармоник модулей Фурье-спектра.

Рассчитываемая таким способом величина контраста дифракционной картины зависит от числа анализируемых дифракционных порядков, число которых обычно определяется исходя из решаемой задачи.

При числе анализируемых дифракционных порядков 10 и более величина контраста, рассчитанная двумя способами, практически совпадает. С уменьшением числа анализируемых порядков рассчитываемая величина контраста незначительно уменьшается.

Величина контраста, рассчитанная двумя способами для пяти дифракционных порядков, отличается на 0.02÷0.03 единицы (Таблица 4.1) (рис. 4.3). При уменьшении степени когерентности эти различия незначительно увеличиваются. На практике, эта разница, как правило, лежит в пределах погрешности измерения.

Рис.4.3. Зависимость контраста (степени когерентности) в интерферометре Юнга от расстояния между точками поля

ТАБЛИЦА 4.1 Контраст интерференционной картины дифрактометра Юнга, рассчитанный двумя способами

Способ расчета	Контраст
Пространственная частота освещающего поля в соответствии с теоремой Ван Циттерта-Цернике для отверстия единичного радиуса
0.25	0.5	0.75	1.0
Теоретическая величина контраста (степень когерентности освещающего поля)	0.93	0.72	0.45	0.18
Выровненный сигнал (пять дифракционных порядков)	0.88	0.68	0.41	0.20

 

Таким образом, преобразование распределения интенсивности ДК позволяет ввести понятие контраста ДК, как отношение амплитуд гармоник выровненного спектра. Численную величину контраста удобно использовать для количественной оценки качества ДК при наличии различного рода возмущений облучающего поля или при дисперсном характере объекта дифракции.