Решение одной задачи выпуклого программирования.Рассмотрим следующую задачу оптимизации
В (28) Очевидно, что (28) – задача со строго выпуклыми функциями и линейными ограничениями и имеет форму основной задачи выпуклого программирования с равенствами. Для этой задачи справедлива теорема Куна-Таккера, причем
Составим условие стационарности:
Отсюда получаем:
Нетрудно убедиться, что функция
Составляем условие стационарности (32)
Отсюда находим оптимальный план (31), получаем:
По теории двойственности тогда существует оптимальный план и прямой задачи, которая совпадает с (28) и он имеет вид:
Таким образом, теория двойственности позволяет для задачи (28) сразу получить оптимальный план в явной форме. Задача (28)относится к задачам квадратичного программирования, то есть к задачам с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями.
|
. (28)
– симметричная 
матрица, 
.
. Построим для задачи (28) функцию Лагранжа.
и будем строить двойственную функцию: 
. Поскольку функция Лагранжа 
при 
строго выпукла, то 
достигается в стационарной точке, то есть там, где 
(29)
(30)
. И построим двойственную задачу: 
(31)
является строго вогнутой относительно 
(для этого нужно взять вторую производную по 
(32)
.
– оптимальный план (31).
