Функции Лагранжа. Теорема о неявных функцияхПо параметрам задачи (1) составим две функции Лагранжа: обобщенную и классическую называют множитель Лагранжа функции. Для получения условия оптимальности будем использовать теорему о неявных функциях (). Теорема (о неявных функциях). Пусть задана – мерная функция , причем она определена и непрерывно дифференцируема в окрестности точки . Пусть при этом выполняются условия: 1) 2) линейно независимы в . Тогда найдутся такие число и функция , что а) ; б) ; в) .
Обобщённое правило множителей Лагранжа
Пусть дана задача: (1) Теорема 1 (Обобщённое правило множителей Лагранжа). Если – локально-оптимальный план задачи (1), то необходимо найдётся такой обобщённый вектор Лагранжа , что (5) Доказательство. Распишем условие (5), получаем: (5*) Тогда требование теоремы означает на самом деле, что если – локально-оптимальный план, то вектора (6) являются линейно зависимыми. Предположим противное. Требование теоремы не выполняются, несмотря на то, что – локально-оптимальный план, то есть вектора (6) линейно независимые. Рассмотрим тогда вектор-функцию переменных и в окрестности точки , . Ясно, что если подставить эту точку в вектор-функцию, то она примет нулевое значение. В силу линейной независимости векторов (6) в окрестности этой точки выполняются все условия о неявных функциях. Согласно теореме найдутся такие числа и функция , что будут выполняться условия: 1. 2. Тогда условие означает, что является планами задачи. Поскольку , то при достаточно малых эти планы лежат в сколь угодно малой окрестности плана . Тогда из тождества или при малых отрицательных получаем . Это неравенство означает, что в сколь угодно малой окрестности плана найдутся планы лучшие, чем . Это противоречит локальной оптимизации . Ч.т.д.
|