Задача с равенствами. Условия оптимальности второго порядка
Будем предполагать, что функции Теорема 1 (Необходимое условие оптимальности второго порядка). Пусть Доказательство. Пусть Рассмотрим функцию Известно, что для функции одной переменной достаточно гладкой необходимым условием оптимальности будет Распишем условие неотрицательности:
Рассмотрим очевидное тождество
Если это тождество продифференцировать дважды по
Если теперь сложить равенства (21) и (22), то с учётом вида функции Лагранжа придём к неравенству:
следовательно Ч.т.д. Теорема 2 (Достаточное условие оптимальности). Пусть пара
|
(1)
и 
имеют нужную гладкость.
− обыкновенный локально-оптимальный план задачи (1) и пусть 
соответствующий ему вектор Лагранжа. Тогда для любого вектора 
допустимого по ограничениям 
выполняется неравенство 
.
, который удовлетворяет условию (12). По 
, 
.
. Из локальной оптимальности 
оптимальным планом будет 
.
.
(21)
.
.
, то получим снова тождественный нуль. А если потом рассмотреть это тождество при 
, то получим равное нулю выражение:
(22)
.
− условно-стационарная точка задачи (1). Тогда, если для любого вектора 
выполняется условие 
, то 
