Задача с неравенствами. Классическое правило множителей Лагранжа

Пусть дана задача: (1)

Определение. Пусть – некоторый план задачи (1). Будем называть его обыкновенным, если вектора

(6)

линейно независимы.

Теорема 3. Пусть – обыкновенный локально-оптимальный план задачи (1). Тогда необходимо найдётся такой классический вектор Лагранжа , причём единственный (он может быть нулевым), что выполняется условие:

1.

2.

3. .

Доказательство. Пусть – обыкновенный локально-оптимальный план. В силу локальной оптимальности для него выполняется условие теорема 2, в частности, условия (4)-(5). Докажем, что в силу обыкновенности множитель . Предположим противное, то есть . Тогда из условия (4) получаем

,

в котором не все множители нулевые. Тогда это означает линейную зависимость векторов (6) и противоречит обыкновенности .

Итак, положительно. Разделим тогда выражение (5) на и переобозначим: , тогда придём к условию .

Условия 2 и 3 теоремы следуют из теоремы 2.

Докажем единственность . Предположим противное. Найдётся ещё один вектор Лагранжа такой что . Вычитая из этого равенства , придём к , причём не все коэффициенты . Это означает линейную зависимость векторов (6) и снова противоречит обыкновенности .

Ч.т.д.

Обсуждение. Теорема 2 и теорема 3 вместе приводят к принципу Лагранжа снятия ограничений в задаче (1), согласно которому и оптимальный план, и все локально оптимальные планы находятся среди решений систем

(7)

если они обыкновенные и

(8)

если не является обыкновенным.

Каждая из систем (7) и (8) представляет собой систему уравнений относительно неизвестных , то есть задача оптимизации сводится к алгебраической задаче.

Определение. Задачу (1) будем называть нормальной, если оптимальный план у неё обыкновенный.

Большинство задач вида (1) являются нормальными. Более того, у большинства задач вида (1) все планы обыкновенные. В частности, ясно, что любой внутренний план является обыкновенным.

Определение. Решение системы (7) будем называть условно-стационарной точкой задачи (1).

Для нормальных задач принцип Лагранжа можно переформулировать:

Если – локально-оптимальный план, то его нужно искать среди условно-стационарных точек задачи (1).

В случае линейных ограничений, то есть когда нетрудно доказать, что всегда справедливо классическое правило множителей Лагранжа без предположения обыкновенности .