Числовые параметры законов распределения.

Координаты центра распределения показывают положение случайной величины на числовой оси и могут быть найдены несколькими способами.

1. Центр симметрии – это такая точка x_m на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.

т. М – медиана, 50%-ый квантиль.

2. Центр распределения можно найти как центр тяжести распределения. Это такая точка x, относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая M(x). Точка эта называется мат. ожиданием.

3. Для двух модальных распределений применяется оценка центра в виде центра сгибов.

4. Для ограниченных распределений (равномерноетрапециидальное) оценка центров рассматривается в виде центров размаха.

x₁ – крайний левый, x₂ – крайний правый.

Моменты распределений.

Начальный и центральный моменты k-го порядка определяются соответственно по формулам

где m – центральный момент, k – порядок момента.

Он используется для задания условия нормирования плотности распределения.

1) k=1

2) 2-ой центральный момент

3) 3-ий центральный момент

Служит для характеристики асимметрии или искаженности распределения.

Коэффициент асимметрии

Для нормального коэф-та

асимметрии n=0.

4) Центральный момент 4-го порядка

Служит он для харак-ки остро- или плосковершинности распределения. Описывается с помощью эксцесса:

Энтропийное значение погрешности.

Энтропийный интервал определяется по след.формуле

, где D_Э – энтропийное значение погр-ти.

H – энтропия действительного значения x измеряемой величины вокруг полученного после измерения значения x_Д, т.е. энтропия погр-ти измерений.

Достоинство: строгое определение доверител. интервала.

 

2. Суммирование систематических и случайных погрешностей.

Систематической погрешностью называется погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Примером систематической погрешности, закономерно изменяющейся во времени, может служить смещение настройки прибора во времени.

Случайной погрешностью измерения называется погрешность, которая при многократном измерении одного и того же значения не остается постоянной. Например, при измерении валика одним и тем же прибором в одном и том же сечении получаются различные значения измеренной величины.

 

Систематические и случайные погрешности чаще всего появляются одновременно.

Для выявления систематической погрешности производят многократные измерения образцовой меры и по полученным результатам определяют среднее значение размера. Отклонение среднего значения от размера образцовой меры характеризует систематическую погрешность, которую называют «средней арифметической погрешностью», или «средним арифметическим отклонением».

Систематическая погрешность всегда имеет знак отклонения, то есть «+» или «-». Систематическая погрешность может быть исключена введением поправки.

При подготовке к точным измерениям необходимо убедиться в отсутствии постоянной систематической погрешности в данном ряду измерений. Для этого существуют специальные методы.

Прогрессивные и периодические систематические погрешности в противоположность постоянным можно обнаружить при многократных измерениях.

Обработка данных и оценка параметров случайных погрешностей производится методами математической статистики

При расчете предельной погрешности измерения определяют числовое значение погрешности измерения от всех составляющих и производят суммирование:

где знаки «+» или «-» ставятся из условия, чтобы систематические и случайные погрешности суммировались по модулю.

Если в случайной погрешности известно среднее квадратическое отклонение, то

где К — показатель, указывающий доверительные границы для предельной случайной погрешности измерения (при К = 1 р = 0,65; при К = 2 р = 0,945; при К = 3 р = 0,9973).

Если результаты измерений зависят от большого числа разнообразных факторов, то

где X_i — переменные функциональные параметры.

Каждый параметр может иметь отклонение Δ x_i (погрешность) от предписанного значения x_i. Поскольку погрешность Δ x_i мала по сравнению с величиной x_i суммарная погрешность Δ x_y функции y можно вычислять по формуле:

где dy/dx_i — передаточное отношение (коэффициент влияния) параметра x_i.

Формула (3.1) справедлива лишь для систематических погрешностей Δ x_i.

Для случайных погрешностей (когда отдельные составляющие не всегда принимают предельные значения) используются теоремы теории вероятностей о дисперсии, то есть

Суммарная погрешность при наличии только случайных составляющих δ x_i погрешностей

где

m — число попарно корреляционно связанных параметров; ki и kj коэффициенты относительного рассеяния, характеризующие степень отличия закона распределения погрешности данного параметра от нормального; rij — коэффициент корреляции, существующий при наличии корреляционной связи между параметрами xi и xj

При наличии и систематических и случайных составляющих погрешностей вычисляют доверительные границы суммарной погрешности:

где k — масштабный коэффициент интервала распределения, зависящий от закона распределения и принятой доверительной вероятности.

Так, при доверительной вероятности Р = 0,95 для закона нормального распределения k = 2, а для закона Максвелла k = 3,6.