Модели движения грунтовых вод

 

? Что такое мониторинг?

 

? Каких редких рыб вы знаете, почему их относят к редким видам?

 

! Продумайте ваше участие в работе по улучшению состояния водных объектов.

Моделирование процессов литосферы

Модели движения грунтовых вод

Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод

Воды, находящиеся в верхней части земной коры называют подземными. Вода в грунтах может находится в различных состояниях

1) водяной пар в занятых воздухом порах грунта;

2) гигроскопическая вода, которая содержится в поверхностном слое частиц грунта и может перемещаться, только переходя в парообразное состояние;

3) пленочная вода, которая обволакивает частицы грунта под влиянием электростатических сил между молекулами грунта;

4) свободная вода, которая подразделяется на а) капиллярную, перемещающуюся под действием силы поверхностного натяжения; б) гравитационную, перемещающуюся под действием силы тяжести.

Гравитационную воду обычно называют грунтовой и мы будем рассматривать движение именно грунтовой воды. Грунтовые воды представляют собой постоянные во времени и значительные по площади распространения горизонты подземных вод, залегающие на первом от поверхности водоупоре (водоупор – это непроницаемые породы).

Рис.1

 

Грунтовые воды характеризуются рядом признаков:

1. Грунтовые воды имеют свободную поверхность, т.е. сверху они не перекрыты водоупорными слоями. В силу наличия свободной поверхности грунтовые воды безнапроны;

2. Питание грунтовых вод происходит главным образом, за счет атмосферных осадков, а также поступления воды из поверхностных водоемов и рек.

3. Грунтовые воды находятся в постоянном движении и, образуют потоки, которые направлены в сторону общего наклона водоупора.

Рис. 2.

 

Предположим что из-за обильных осадков или работы артезианских скважин уровень воды в каком-то месте слоя изменяется, тогда под действием силы тяжести начинается движение жидкости, выравнивающее её свободную поверхность. Для описания этого процесса примем ряд предположений

1. Вода рассматривается как несжимаемая жидкость, т.е. ;

2. толщина пласта много меньше его длины и ширины (это означает, что движение жидкости двумерное и все его характеристики не зависят от координаты );

3. подстилающая поверхность (водоупор) не имеет разрывов и изломов и задается известной, достаточно гладкой функцией – ;

4. свободная поверхность воды плавно меняется с изменением координат и ;

5. грунтовые воды нигде не выходят на поверхность земли, причем на свободной поверхности жидкости давление постоянно;

6. грунт однороден, т.е. физико-механические свойства не зависят от , и .

 

Рис. 3.

 

Физико-механические предпосылки к описанию движения грунтовых вод.

Течение жидкости в грунте имеет характер просачивания сквозь поры и трещины. Грунт (гравий, песок, супесь, глина и т.д.) в условиях естественного залегания можно рассматривать как пористую среду. Движение жидкости в пористой среде называется фильтрацией.

Свойствами грунта, определяющими движение сквозь него воды, являются размеры и форма частиц грунта. Представим себе площадку в грунте, содержащую сечения зерен грунта и просветы между этими сечениями.

Площадь сечения можно представить в виде суммы площади сечения порового пространства (площадь просветов) и площади сечения частиц грунта . Отношение

называется коэффициентом пористости.

Фильтрационные потоки грунтовых вод по характеру движения разделяют на ламинарное течение (спокойное, имеющее параллельно-струйчатого характер) и турбулентное (возмущенное, вихревое, которое наблюдается при наличии крупных пустот и трещин движение воды в породах).

Ламинарное течение подчиняется эмпирическому закону фильтрации Дарси

, (1)

где – давление жидкости, – коэффициент, определяемый свойствами грунта. Согласно закону Дарси компоненты скорости течения жидкости пропорциональны соответствующим компонентам градиента давления. (По своему физическому смыслу градиент давления – это сила, отнесенная к единице объёма.

Стоящая в левой части закона Дарси скорость называется скоростью фильтрации жидкости. Это фиктивная скорость, среднее значение которой вычисляют в предположении, что расход воды (объем жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени) протекает через поперечное сечение грунта , просачиваясь не только сквозь поры, но и через частицы грунта

.

Средняя скорость движения воды в порах

,

и следовательно, , т.к. . Введение скорости фильтрации удобно, потому, что она определяется по геометрической площади живого сечения и не зависит явно от пористости.

Однако, формула правомерна лишь для песков и для таких пород, где все поры открыты и вода имеет полную свободу движения.

 

Грунт называется однородным, если фильтрационные свойства одинаковы во всех точках пространства ( не зависит от координат , , ). Если его свойства зависят от пространственных координат, то грунт называется неоднородным.

 

Баланс массы в элементе грунта.

Выделим в пласте элементарный объем, образующийся в результате пересечения вертикальной призмы , поверхностями водоупора и свободной поверхностью. Поскольку размеры призмы , малы, а функции и гладкие, то получившееся тело можно считать параллелепипедом, объемом .

 

Введем неизвестные функции и – составляющие скорости жидкости вдоль осей и . Подсчитаем изменение массы за время внутри элементарного параллелепипеда двумя способами.

1. В момент времени масса жидкости в выделенном сечении равна

,

где – коэффициент пористости , т.к. часть объема занята грунтом.

В момент времени масса жидкости в рассматриваемом сечении будет

.

Изменение массы будет

.

Учитывая, что , , из последнего выражения, получаем

. (2)

2. Изменение массы в рассматриваемом объеме за время связано с тем, что количество жидкости, которое втекло в объем , не равно количеству жидкости, которое вытекло из этого объема. Подсчитаем количества жидкости, входящей в параллелепипед и выходящей из него за промежуток временим .

Через грань в элемент грунта входит масса воды, равная объему прошедшей через неё жидкости, умноженному на плотность :

,

(величина имеет смысл потока массы, проходящей в единицу времени через поверхность единичной ширины высотой )

а через грань за то же время выходит масса воды

.

Таким образом, при движении жидкости вдоль оси в элементе грунта масса изменяется на величину

.

Аналогично рассуждая для граней и , получаем изменение массы воды за счет её движения вдоль оси :

.

Вдоль оси в элемент грунта жидкость не втекает и не вытекает из него (снизу подстилающий пласт, а через свободную поверхность нет потока вещества).

Суммарное изменение массы воды в элементе грунта равно:

. (3)

Приравнивая (2) и (3), получаем

,

и, учитывая несжимаемость жидкости, получим

. (4)

Уравнение (4) содержит три неизвестных величины , , . Следовательно, для замыкания модели необходимо привлечь какие-то дополнительные условия. Их дает полуэмпирический закон Дарси (1). Если принять предположение о медленном и почти горизонтальном течение грунтовой воды, то можно считать, что давление подчиняется гидростатическому закону как давление, создаваемое столбом жидкости:

,

где – давление на поверхности жидкости (например, атмосферное), – ускорение свободного падения. Подставляя в формулу Дарси, получаем

.

Используя эту формулу, окончательно получаем уравнение движения грунтовых вод

, (5)

– уравнение Буссинеска, которое содержит только одну неизвестную функцию .

 

Свойства уравнения Буссинеска.

Уравнение (5) нестационарное (искомая функция зависит от ), двумерное ( зависит от и ), относящееся к параболическому типу. Оно неоднородное, т.к. функция зависит от и , нелинейное, поскольку в правой части присутствуют члены вида и . В силу этого, уравнение (5) представляет собой сложный математический объект. Однако в некоторых частных случаях можно получить и аналитическое решение этого уравнения.

Для получения завершенной математической модели движения грунтовых вод необходимо знать входные данные для уравнения (5): форму водоупорной поверхности , коэффициент и краевые условия, задающие функцию в начальный момент времени и на границах пласта (и, может быть, в некоторых выделенных областях пласта, например, на артезианской скважине).

Простейшим вариантом формулировки краевых условий для уравнения (5) является задание лишь начального условия – функции в момент времени :

.

Такая математическая модель называется задачей Коши для уравнения (5). Рассмотрение пласта бесконечных размеров является идеализацией. Однако если изучается течение в небольшой центральной области пласта на относительно небольшом промежутке времени, то влиянием границ пласта можно пренебречь, и считать, что решение задачи Коши описывает вполне реальный процесс.

Также исходную модель (5) можно упростить, вводя некоторые предположения.

Так, если по каким-либо причинам решение не зависит от времени (стационарный процесс), то приходим к эллиптическому уравнению

,

для решения которого не требуется задания функции в начальный момент времени. В простейшем случае это уравнение превращается в уравнение Лапласа.

Если водоупорная поверхность горизонтальна , то общее уравнение (5) становится однородным

.

(новая переменная )

При дополнительном предположении об одномерности течения, когда искомое решение зависит лишь от одной пространственной переменной, например, координаты , приходим к уравнению

,

которое называется одномерным уравнение типа нелинейной теплопроводности, или одномерным уравнение изотермической фильтрации. Одномерными являются, например, течения в пластах, сильно вытянутых по одному из направлений, так что, изменением вдоль поперечного сечения пласта можно пренебречь.

Наконец, самая простая модель течения грунтовых вод дается уравнением теплопроводности (или уравнением диффузии вещества)

, (6)

получающемся из (5) при условии , т.е. для малых изменений уровня жидкости по сравнению с толщиной пласта, поскольку

.

Уравнение (6) относится к параболическому типу и существуют хорошо известные методы его решения.

 

Можно получить и более сложные модели, например, когда неверны некоторые из сформулированных вначале предположений. В частности, во многих случаях грунт неоднороден, т.е. и , и необходимо учитывать поступление жидкости в пласт за счет осадков. Тогда обобщение уравнения Буссинеска имеет вид

,

где характеризует мощность осадков в точке в момент времени .