Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости

Симплексный - передача данных только в одном направлении (телевидение, радио);

Полудуплексный - прием и передача информации осуществляется поочередно (рация);

Дуплексный - одновременные передача и прием данных (телефон).

Дуплексный режим является наиболее скоростным режимом работы и позволяет эффективно использовать вычислительные возможности быстродействующих ЭВМ в сочетании с высокой скоростью передачи данных по каналам связи.

ЛЕКЦИЯ 5

Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и второго рода. Построение доверительного интервала для математического ожидания непосредственно измеряемой величины. Распределение Стьюдента

 

Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости.

Выборочные параметры распределения, определяемые по серии измерений, являются случайными величинами, следовательно, и их отклонения от генеральных параметров также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — при статистическом анализе можно лишь указать вероятность той или иной погрешности.

Пусть для генерального параметра получена из опыта несмещенная оценка . Назначим достаточно большую вероятность (такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным) и найдем такое значение , для которого

Диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на , будет . Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

p = 1− β, (4.2)

называемой уровнем значимости. Иначе выражение (4.1) можно интерпретировать как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пределах

Вероятность β называется доверительной вероятностью и характеризует надежность полученной оценки. Интервал называется доверительным интервалом. Границы интервала и называются доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала: чем больше величина β, тем больше интервал (и величина ). Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышении доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала.

На практике обычно фиксируют значение доверительной вероятности (0,9; 0,95 или 0,99) и затем определяют доверительный интервал результата . При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении:

Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки , задача определения доверительного интервала решалась бы просто.

Рассмотрим построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины с известным генеральным стандартом по выборке объемом . Наилучшей оценкой для математического ожидания является среднее выборки x со стандартным отклонением среднего

Используя функцию Лапласа, получаем

Задавшись доверительной вероятностью β, определим по таблице функции Лапласа величину

Тогда доверительный интервал для математического ожидания принимает вид

или

 

Из (4.7) видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально корню квадратному из числа опытов.

Знание генеральной дисперсии позволяет оценивать математическое ожидание даже по одному наблюдению. Если для нормально распределенной случайной величины в результате эксперимента получено значение , то доверительный интервал для математического ожидания при выбранной β имеет вид

где — квантиль стандартного нормального распределения.

Закон распределения оценки , зависит от закона распределения величины и, в частности, от самого параметра . Чтобы обойти это затруднение, в математической статистике применяют два метода:

1) приближенный — при n ≥ 50 заменяют в выражении для неизвестные параметры их оценками, например:

2) от случайной величины переходят к другой случайной величине , закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n и от вида закона распределения величины . Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального распределения случайных величин. В качестве доверительных границ и обычно используются симметричные квантили