Свойства. 5.Руководство фармацевтического предприятия считает, что, осуществляя
Свойства 1. Транспонирование¸ то есть определитель матрицы А равен транспонированной матрице: det A=det Aт
2. пример:
3. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя
4. Определитель не изменится если к элементам одного ряда прибавить элементы другого ряда, умноженные на одно и тоже число
Определитель равен 0, если он содержит нулевой ряд или он содержит 2 параллельных ряда, элементы которых пропорциональны. 2. Разложение определителя по любому ряду
Пусть имеем определитель третьего порядка:
Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij. Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством Aij = (–1)i+jMij 3. Системы линейных уравнений, их совместимость, определенность. Метод Крамера
аij коэффициент уравнений (числа) bj свободные члены Если одновременно все свободные члены (bj) обращаются в ноль, то система называется однородной, в противном случае неоднородной. Однородные системы всегда имеют решение. Решить систему – найти все решения или доказать, что решений нет. Система называется совместной, если имеет хотя бы 1 решение и несовместной, если не имеет решений. Система называется неопределенной, если имеет бесконечное множество решений. Две системы называются эквивалентными если все их множества совпадают. Метод Крамера: Если число уравнений совпадает с числом неизвестных (m=n) и если определитель ≠ 0, то систему можно решить по методу Крамера
4. Матрицы, элементарные преобразования матриц. Ступенчатая матрица
Если m=n, то матрица называется квадратной размера m или n. Главная диагональ образует элементы с левого верхнего в правый нижний, а побочная диагональ образует элементы с левого нижнего в правый верхний.
Прямоугольной матрицы, где m≠n называется ступенчатой матрицей. Число ненулевых строк в матрице, приведённой к треугольному или к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований называется рангом матрицы. элементарные преобразования матриц: 1. Транспонирование 2. Перестановка строк (столбцов) 3. Вычеркивание строки(столбца), все элементы которой равны 0 4. Умножение строки (столбца) на число отличное от 0 5. Прибавление к элементам одной строки (столбца), соответствующих элементов другой строки (столбца), такие матрицы называются эквивалентными. 5. Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
А\В =
Метод Гаусса – это метод последовательных исключений неизвестных из уравнений системы с помощью преобразований, приводящих систему к ступенчатому виду, то есть будем осуществлять элементарные преобразования расширенной матрицы работая только со строками матрицы. Теорема Кронеккера-Копелли: Для совместимости системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы совпадал с рангом расширенной матрицы, в противном случае решений нет: rg A= rg (А\В) Ситуации: rg A ≠ rg (А\В) => решений нет rg A= rg (А\В) = r = n => тогда расширенная матрица приводится к треугольному виду, решение системы будет единственное rg A= rg (А\В) = r < n => решений ∞ множество 6. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и
Формула: A∙X=B. Решение матричного уравнения: X = А-1∙В 7. Векторы и линейные операции над ними Вектором нзв. направленный отрезок прямой, характеризующийся прямой и направлением. Нулевой вектор – точка, или вектор, длина которого = 0. Единичный вектор – вектор, длина =1.
= если 1) │ │ = │ │ 2) Коллинеарны и сонаправлены
ü ü ü 2. если к > 0
3. и коллинеарны
1. 2. 3. 4. (к + n) ∙ = к + n
= β1 1 + β2 2 +…+ βn n Линейная комбинация Ненулевые векторы 8. Базис в пространстве и на плоскости Базисом на плоскости (в пространстве) нзв. любая упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов. На плоскости любые 2 неколлинеарных вектора линейно независимы, любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы. На плоскости базисом являются любые 2 упорядоченных неколлинеарных вектора и любой другой вектор на плоскости может быть представлен как их линейная комбинация. В пространстве можно показать, что любые 3 некомпланарных вектора образуют базис. Любой 4 вектор может быть представлен как их линейная комбинация. В пространстве базисом являются любые 3 некомпланарных вектора. !!!
2 вектора ортогональны, если Ортогональным базисом e1, e2 ,…, en нзв. базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов. 9.
3. Пр l (к∙) = к ∙Пр l 10. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки
Работа силы F при перемещении по вектору АВ равна А = F ∙ АВ
Формулы:
2. и и тройка векторов, правая
1. 2. 3. 4. 5. и коллинеарны <=> × = 0 6. i ×j = k j× k = i j× i = ─ k Правило: i j k i j берем 3 вектор, если двигаемся вправо то знак «+» если двигаемся влево то знак «─» 7.
x y z
«─» если,, левая тройка
1. 2. 3. 4.
5. x y z
x y z
|