Свойства. 5.Руководство фармацевтического предприятия считает, что, осуществляя

Свойства

1. Транспонирование¸ то есть определитель матрицы А равен транспонированной матрице: det A=det A^т

пример:

 

 

2. Если в определителе поменять местами любые 2 параллельных ряда, то знак определителя меняем на противоположный.

пример:

 

3. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя

пример:

 

 

4. Определитель не изменится если к элементам одного ряда прибавить элементы другого ряда, умноженные на одно и тоже число

пример:

 

 

Определитель равен 0, если он содержит нулевой ряд или он содержит 2 параллельных ряда, элементы которых пропорциональны.

2. Разложение определителя по любому ряду

Теорема Лапласа: Определитель любого порядка может быть вычислен разложением по любому ряду, то есть он равен сумме произведений элементов ряда на их алгеброическое дополнение.

Пусть имеем определитель третьего порядка:

 

Минором, соответствующим данному элементу a_ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a_ij будем обозначать M_ij.

Формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a12, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j. Алгебраическое дополнение элемента a_ij обозначается A_ij. Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A_ij = (–1)^i+jM_ij

3. Системы линейных уравнений, их совместимость, определенность. Метод Крамера

 

 

Решением системы линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных x₁, x₂…x_n называется упорядоченная совокупность чисел, такая что при постановке вместо соответствующих неизвестных эта совокупность обращает каждое из уравнений системы в тождество.

а_ij коэффициент уравнений (числа)

b_j свободные члены

Если одновременно все свободные члены (b_j) обращаются в ноль, то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Однородные системы всегда имеют решение. Решить систему – найти все решения или доказать, что решений нет.

Система называется совместной, если имеет хотя бы 1 решение и несовместной, если не имеет решений.

Система называется неопределенной, если имеет бесконечное множество решений.

Две системы называются эквивалентными если все их множества совпадают.

Метод Крамера:

Если число уравнений совпадает с числом неизвестных (m=n) и если определитель ≠ 0, то систему можно решить по методу Крамера

пример:

 

определитель, который получается из определителя подстановкой вместо 1 столбца столбца из свободных членов

 

Находим неизвестные:

4. Матрицы, элементарные преобразования матриц. Ступенчатая матрица

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица упорядоченных чисел, содержащая m строк и n столбцов, где а_ij элементы матрицы, i номер строки, j номер столбца.

 

 

Если m=n, то матрица называется квадратной размера m или n.

Главная диагональ образует элементы с левого верхнего в правый нижний, а побочная диагональ образует элементы с левого нижнего в правый верхний.

 

Единичной матрицей называется квадратная матрица произвольного порядка на главной диагонали которой находятся 1, все остальные 0. пример:

 

Треугольной матрицей называется квадратная матрица, у которой либо выше либо ниже главной диагонали все элементы равны 0. пример:

 

Прямоугольной матрицы, где m≠n называется ступенчатой матрицей.

Число ненулевых строк в матрице, приведённой к треугольному или к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований называется рангом матрицы.

элементарные преобразования матриц:

1. Транспонирование

2. Перестановка строк (столбцов)

3. Вычеркивание строки(столбца), все элементы которой равны 0

4. Умножение строки (столбца) на число отличное от 0

5. Прибавление к элементам одной строки (столбца), соответствующих элементов другой строки (столбца), такие матрицы называются эквивалентными.

5. Метод Гаусса

Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Расширенной матрицей называется матрица, к которой добавлен столбец из свободной системы

А\В =

 

Метод Гаусса – это метод последовательных исключений неизвестных из уравнений системы с помощью преобразований, приводящих систему к ступенчатому виду, то есть будем осуществлять элементарные преобразования расширенной матрицы работая только со строками матрицы.

Теорема Кронеккера-Копелли:

Для совместимости системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы совпадал с рангом расширенной матрицы, в противном случае решений нет: rg A= rg (А\В)

Ситуации:

rg A ≠ rg (А\В) => решений нет

rg A= rg (А\В) = r = n => тогда расширенная матрица приводится к треугольному виду, решение системы будет единственное

rg A= rg (А\В) = r < n => решений ∞ множество

6. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Если в систем m=n (число уравнений = числу неизвестных) и матрица А невырожденная (det A≠0), тогда систему можно решить матричным способом.

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и

свободных членов

 

Формула: A∙X=B. Решение матричного уравнения: X = А^-1∙В

7. Векторы и линейные операции над ними

Вектором нзв. направленный отрезок прямой, характеризующийся прямой и направлением.

Нулевой вектор – точка, или вектор, длина которого = 0.

Единичный вектор – вектор, длина =1.

Коллинеарные вектора лежат на параллельных прямых. Компланарные лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

= если 1) │ │ = │ │

2) Коллинеарны и сонаправлены

линейные операции:

ü + = правило теугольника (начало соединяем с концом)

ü ─ = + (─) начало вычитаемого вектора с началом вектора из которого вычитаем

ü к = к- const если 1.│ │= │к│∙│ │

2. если к > 0

если к < 0

3. и коллинеарны

Свойства линейных операций:

1. + = + свойство коммутативности

2. (+) + = + (+) сочетательное

3. к ∙(+) = к ∙ + к ∙ распределительное

4. (к + n) ∙ = к + n

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами β_1, β_2, ...β_n называется вектор

= β_{1 1} + β_{2 2} +…+ β_{n n}

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю одновременно:

Ненулевые векторы называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:

8. Базис в пространстве и на плоскости

Базисом на плоскости (в пространстве) нзв. любая упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.

На плоскости любые 2 неколлинеарных вектора линейно независимы, любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы. На плоскости базисом являются любые 2 упорядоченных неколлинеарных вектора и любой другой вектор на плоскости может быть представлен как их линейная комбинация.

В пространстве можно показать, что любые 3 некомпланарных вектора образуют базис. Любой 4 вектор может быть представлен как их линейная комбинация.

В пространстве базисом являются любые 3 некомпланарных вектора. !!!

У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

2 вектора ортогональны, если Ортогональным базисом e1, e2 ,…, e_n нзв. базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов.

9. Проекция вектора на ось и ее свойства

Проекция вектора = АВ на ось l нзв. Пр. = ±│А′ В′│= │ │∙ cosα

Свойства проекций: 1. =, Пр _{l =} Пр _l

2. Пр _l (±) = Пр _l ± Пр _l

3. Пр _l (к∙) = к ∙Пр _l

10. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки

11. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и:

∙ =│ │∙│ │∙cos ^ = │ │∙│ │cosα =│ │Пр = │ │Пр

Свойства скалярного произведения:

1. ∙ = ∙

2. (к) ∙ = к (∙) к- const Док-во: (к) ∙ = │ │Пр (к) = к∙ Пр ∙│ │= к ()

3. (+) ∙ = ∙ + ∙ при скалярном произведении векторов скобки можно раскрывать также как при умножении многочленов

4. ∙ = │ │² = ² скалярный квадрат

5. <=> ∙ = 0

6. Пр =

7. cos (^) = cos β =

8. ∙ = _{x x} + _{y y} + _{z z}

Работа силы F при перемещении по вектору АВ равна А = F ∙ АВ

12. Векторное произведение

Векторным произведением векторов и нзв.:

= × = [, ]

Формулы:

1.│ │= │ ││ │sin (^)

2. и и тройка векторов, правая

Свойства векторного произведения:

1. × = ─ × антипереместительное свойство

2. S_{прямоугольника} =│ │=│ × │ S_{треугольника} = │ │= │ × │

3. (к) × = к (×)

4. (×) × = × + × при векторном произведении векторов раскрытие скобок производится также как при работе с многочленами, но учитывается антипереместительное свойство

5. × = 0 (точка)

и коллинеарны <=> × = 0

6. i ×j = k j× k = i j× i = ─ k

Правило: i j k i j берем 3 вектор, если двигаемся вправо то знак «+»

если двигаемся влево то знак «─»

7. (_x, _y, _z) (_x, _{y, z})

i j k

× = _{x y z}

_{x y z}

 

13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение 3 векторов

Смешанным произведением нзв. (×) ∙ = ± V _{параллелепипеда, построенного на,,}

«+» если,, правая тройка

«─» если,, левая тройка

Свойства смешанного произведения:

1. (×) ∙ = ∙ (×) =

2. = ─

3. =

4. ,, компланарные <=> = 0

_{x y z}

5. (×) ∙ =

_{x y z}

_{x y z}

6. V _{параллелепипеда} =

 

V_{треугольной пирамиды} = V_{параллелепипеда} =