Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ГЕШТАЛЬТ-ТЕРАПИЯ




Под Rn будем понимать множество упорядоченных n-ок действительных чисел. Пусть x = (x1,…, xn) и y = (y1,…, yn) – элементы Rn и a – действительное число. Под суммой x + y будем понимать покомпонентную сумму (x1+ y1,…, xn+ yn) элементов x и y, а под произведением ax – элемент (ax1,…, axn). В частности, при n = 2 (n = 3) мы получаем векторы на плоскости (в пространстве) со стандартным сложением и умножением на скаляр.Функцию f: Rn ® Rnназовемлинейной, если для любых x, y Rn и для любых действительных a, b выполняется f(ax+by) = af(x)+bf(y). В частности, функция 0(x), равная (0, 0, …, 0) при любом х Rn , является линейной. Множество всех линейных функций f: Rn ® Rn обозначим через Ln.Мы будем говорить, что две линейные функции f, gÎLn равны, если f(x)=g(x) для любых х Rn. Для функций f, g: Rn ® Rn определим следующие операции: сложение (f+g)(x)=f(x)+g(x) и умножение (композицию) (f·g)(x)=f(g(x)). В дальнейшем аргумент x будем опускать.

0.1. Конечно ли число элементов в Ln?

0.2. Пусть f, gÎ Ln. Можно ли утверждать, что f+gÎ Ln, f·gÎLn?

0.3. Верно ли, что для любых f, g, h Î Ln выполняются законы: ассоциативности (т.е. и ), коммутативности (т.е. и ), дистрибутивности умножения по отношению к сложению (т.е. )? В частности, покажите, что степень корректно (однозначно) определена.

0.4. Пусть функция el: Rn Rn задана следующим образом: el(х) = = (1, …, n), где l – некоторое действительное число. Является ли функция el линейной?

I.Будем рассматривать случай n = 2. Через l, m будем обозначать некоторые натуральные числа, через a, b, c – заданные линейные функции из L2, a 0.

1. Найдите все решения fÎ L2 следующих уравнений:

1.1. f 2 = f.

1.2. f l = f

1.3. f l = f m.

1.4. 0, где функции определены в п. 0.4, 0, liдействительные числа.

1.5. af =b.

1.6. af=fb.

1.7. af=fb+c.

1.8. af 2=f, faf=f, f 2=afb.

2. Найдите необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений

af 2 + bf+c = 0, faf + bf+c = 0, f 2a + bf+c=0.

II.Решите задачи I.1 и I.2 для n = 3и для произвольного натурального n > 3.

III. Предложите и исследуйте собственные направления или обобщения этой задачи. В частности, можно попробовать рассмотреть аналогичные вопросы для упорядоченных n‑ок классов вычетов по модулю простого числа p (или произвольного натурального числа) с аналогичными операциями сложения и умножения на класс вычетов.

 

Решение

Описание «линейной функции» данное в постановке задачи соответствует линейной однородной функции или линейной форме (Wikipedia «Линейная функция»), то есть функции вида

, где так как только для однородной линейной функции выполняется равенство .

1.1Конечно ли число элементов в Ln?

Количество элементов в есть всевозможные наборы из n переменных. То есть в функции каждый . От этого и зависит входит i-ая переменная функцию или нет.

Тогда общее количество таких функций = .

1.2Пусть f, gÎ Ln. Можно ли утверждать, что f+gÎ Ln, f·gÎLn?

1) - ?

.

2)

+ + =

Очевидно, что при =>

1.3Верно ли, что для любых f, g, h Î Ln выполняются законы: ассоциативности (т.е. и ), коммутативности (т.е. и ), дистрибутивности умножения по отношению к сложению (т.е. )? В частности, покажите, что степень корректно (однозначно) определена.

1) Ассоциативность

1.

2.

1.

Если

, то очевидно и в левой и в правой частях равенства перед каждым x будет стоять после приведения подобных слагаемых и расположению коэффициентов в указанном порядке (а расположить их можем, так как операции над производятся на множестве R , где описанное выше выполнить можно)

= +

 

 


( )


Коэффициенты при также будут определены однозначно, так как на R ассоциативность умножения имеет место быть. Коэффициент перед каждым будет являться произведением суммы всевозможных комбинаций

Таким образом - закон выполняется.

2) Коммутативность.

1. f + g = g + f – ?

 

Т.к. для «+» происходит линейное сложение коэффициентов, стоящих у одноименных переменных, то при каждом х: в левой правой части х коэффициенты будут иметь вид ( (в левой части) или ( ) (в правой части), но сложение их происходит в множестве R, а здесь «+» – коммутативно.

 

Ответ: «+» коммутативно в .

 

2.

 

 

Очевидно, что коэффициенты при каждом различны=> коммутативность умножения (композиции) в не выполняется.

 

 

3) Дистрибутивность умножения относительно сложения

Левая часть

1.

2.

Правая часть

Сложим полученные уравнения, получим

Очевидно, что коэффициенты левой и правой части при каждом совпадут, а значит в умножение дистрибутивно относительно сложения.

1.4Пусть функция el: Rn Rn задана следующим образом: el(х) = = (1, …, n), где l – некоторое действительное число. Является ли функция el линейной?

Функция является линейной, так как

 

I. Будем рассматривать случай n = 2. Через l, m будем обозначать некоторые натуральные числа, через a, b, c – заданные линейные функции из L2, a 0.

n=2;

1.1 Найти все решения

1)

O(x) – очевидно решение.

Тогда для выполнения равенства необходимо, чтобы следующая система имела решения:

, a

1.5 af =b

af=b

a(x)=a1 x + a2 y

f(x)=

a f = b

a(f) = b

a1 ( ) + a2 ( ) = b1 x + b2 y Þ =

 

Решение будут те функции f, у которых коэффициент и

 

 

1.6 af=fb

af = fb

a(f) = f(b)

= )+

(

 

 

ГЕШТАЛЬТ-ТЕРАПИЯ


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-03-11; просмотров: 362. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.049 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7