Диагностическая ценность признаков

В технической диагностике большое значение имеет описание объектов в системе признаков, обладающих большой диагностической ценностью. Использование неинформативных признаков не только оказывается бесполезным, но и снижает эффективность самого процесса диагностирования, создавая помехи при распознавании.

Количественное определение диагностической ценности признаков и комплекса признаков может быть проведено на основе теории информации.

Пусть имеется система D, которая находится в одном из n возможных состояний D_i (i=1,2,…n). Пусть эта система – «система диагнозов», а каждое из состояний – диагноз. В большинстве случаев непрерывные различные состояния системы представляются совокупностью эталонов (диагнозов), причем выбор числа диагнозов часто определяется путем наблюдения за другой, связанной с ней системой – системой признаков.

Назовем простым признаком результат обследования, который может быть выражен одним из двух символов или двоичным числом (1 и 0).

С точки зрения теории информации простой признак можно рассматривать как систему, имеющую одно из двух возможных состояний. Если K_j – простой признак, то два его состояния можно обозначить: K_j – наличие признака, - отсутствие признака. Простой признак может означать наличие или отсутствие измеряемого параметра в определенном интервале; он может иметь и качественный характер (положительный или отрицательный результат испытаний и т.д.).

Для целей диагностирования область возможных значений измеряемого параметра часто разбивается на интервалы и характерным является наличие параметра в данном интервале. В связи с этим результат количественного обследования может рассматриваться как признак, принимающий несколько возможных состояний.

Сложным признаком (разряда m) называется результат наблюдения (обследования), который может быть выражен одним из m символов. Если, как обычно, в качестве символов выбрать цифры, то сложный признак (разряда m) может быть выражен m – разрядным числом (сложный признак 8-го разряда выражается восьмеричным числом). Сложный признак может быть связан и с обследованием качественного характера, если оценка содержит несколько градаций. Разряды признака называются диагностическим интервалом.

Одноразрядный признак (m = 1) имеет только одно возможное состояние. Такой признак не несет какой-либо диагностической информации и его следует исключить из рассмотрения.

Двухразрядный признак (m = 2) обладает двумя возможными состояниями. Состояния двухразрядного признака K_j можно обозначить K_j1 и K_j2. Так например, признак K_j относится к измерению параметра x, для которого установлено два диагностических интервала: x ≤ 10 и x > 10. Тогда K_j1 соответствует x ≤ 10, а K_j2 обозначает x > 10. Эти состояния альтернативны, так как реализуется только одно из них. Очевидно, что двухразрядный признак может быть заменен простым признаком K_j, если считать K_j1 = K_j и K_j2 = .

Трехразрядный признак (m=3) имеет три возможных значения: K_j1, K_j2, K_j3. Пусть, например, для параметра x приняты три диагностических интервала: x ≤ 5, 5 < x < 15, x ≥ 15. Тогда для признака K_j, характеризующего этот параметр, возможны три значения:

K_j1 (x ≤ 5);K_j2 (5 < x < 15);K_j3 (x ≥ 15),

где m – разрядный признак K_j имеет m возможных состояний: K_j1, K_j2,… K_jm.

Если в результате обследования выявлено, что признак K_j имеет для данного объекта значение K_j1, то это значение будем называть реализацией признака K_j. Обозначая ее K*_j, будем иметь K*_j = K_js.

В качестве диагностического веса Z реализации признака K_j для диагноза D_j может быть принято:

, (21)

где - вероятность диагноза D при условии, что признак K_j получил значение K_js, P(D_i) – априорная вероятность диагноза.

С точки зрения теории информации величина Z_Di(K_js) представляет собой информацию о состоянии D_i, которой обладает состояние признака K_js.

Если вероятность состояния D после того, как стало известно, что признак K_j имеет реализацию в интервале S, увеличилась , то , т.е. диагностический вес данного интервала признака для данного диагноза положителен. Если наличие параметра в интервале S не изменяет вероятности диагноза, то , так как .

Диагностический вес на интервале S признака K_j по отношению к диагнозу D_i, может быть отрицательным (отрицание диагноза).

Диагностический вес наличия признака K_j в интервале S можно представить в виде, более удобном для конкретных вычислений:

, (22)

где P(K_js/D_i) – вероятность появления на интервале S признака K_j для объектов с диагнозом D_i, P(K_jsi) - вероятность появления этого интервала у всех объектов с различными диагнозами.

Эквивалентность равенств (21) и (22) следует из следующего тождества:

.

Равенства (21), (22) определяют независимый диагностический вес данной реализации признака для диагноза D_i. Он характерен для ситуации, в которой обследование по признаку K_j проводится первым или когда результаты обследования по другим признакам еще неизвестны (например, при одновременном обследовании по нескольким признакам). Он также характерен для случая, когда вероятность появления данной реализации признака не зависит от результатов предыдущих обследований.

Однако известно, что диагностическое значение реализации признака во многих случаях зависит от того, какие реализации признаков получились в предыдущих обследованиях. Бывает, что сам по себе признак не имеет существенного значения, но его появление после некоторого другого позволяет однозначно поставить диагноз (установить состояние системы).

Пусть проводится обследование сначала по признаку K₁, а затем по признаку K₂. При обследовании объекта по признаку K₁ была получена реализация K_1S, и требуется определить диагностический вес реализации K_2ρ признака K₂ для диагноза D_i. В соответствии с определением диагностического веса:

. (23)

Выражение (23) определяет условный диагностический вес реализации признака. Независимый диагностический вес этой реализации:

.

Если признаки K₁ и K₂ являются независимыми для всей совокупности объектов с различными диагнозами:

и условно независимыми для объектов с диагнозом D_i

.

то условный и независимый диагностические веса реализации совпадают.

Диагностический вес той или иной реализации признака еще не дает представления о диагностической ценности обследования по данному признаку. Например, при обследовании по простому признаку может оказаться, что его наличие не имеет диагностического веса, тогда как его отсутствие чрезвычайно важно для установления диагноза.

Установим, что диагностическая ценность обследования по признаку k_j для диагноза D_i есть величина информации, вносимая всеми реализациями признака k_j в установление диагноза D_i.

Для m – разрядного признака:

Диагностическая ценность обследования учитывает все возможные реализации признака и представляет собой математическое ожидание величины информации, вносимой отдельными реализациями. Так как величина Z_Di(k_j) относится только к одному диагнозу D_i, то это частная диагностическая ценность обследования по признаку k_j, и она определяет независимую диагностическую ценность обследования. Значение Z_Di(k_j) характерно для случая, когда обследование производится первым или когда результаты других обследований неизвестны.

Величина Z_Di(k_j) может быть записана в трех эквивалентных формулах:

;

;

.

Диагностическая ценность обследования для простого признака:

Если признак k_j является случайным для диагноза D_i, т.е. , то обследование по такому признаку не имеет диагностической ценности (Z_Di(k_j) = 0).

Наибольшую диагностическую ценность имеют обследования по признакам, которые часто встречаются при данном диагнозе, а вообще редко и, наоборот, по признакам, встречающимся при данном диагнозе редко, а вообще – часто. При совпадении P(k_j/D_i) и P(k_j) обследование не имеет никакой диагностической ценности.

Диагностическая ценность обследования вычисляется в единицах информации (двоичных единицах или битах) и не может быть отрицательной величиной. Это понятно из логических соображений: информация, полученная при обследовании, не может «ухудшить» процесс распознавания действительного состояния.

Величина Z_Di(k_j) может быть использована не только для оценки эффективности обследования, но и для целесообразного выбора величины диагностических интервалов (числа разрядов). Очевидно, что для упрощения анализа удобно уменьшать число диагностических интервалов, однако это может привести к уменьшению диагностической ценности обследования. С увеличением числа диагностических интервалов диагностическая ценность признака возрастает или остается прежней, но анализ результатов становится более трудоемким.

Известно, что обследование, обладающее небольшой диагностической ценностью для данного диагноза, может иметь значительную ценность для другого. Поэтому целесообразно ввести понятие общей диагностической ценности обследования по признаку k_j для всей системы диагнозов D, определив ее как количество информации, вносимое обследованием в систему диагнозов:

Величина Z_D(k_js) представляет собой ожидаемое (среднее) значение информации, которое может быть внесено обследованием в установление неизвестного заранее диагноза, принадлежащего рассматриваемой системе (совокупности) диагнозов.

В другой форме:

или

,

где