Студопедия — Теорема и доказательство на всякий пожарный, для ответа они НЕ нужны, как и пример, добавлены
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема и доказательство на всякий пожарный, для ответа они НЕ нужны, как и пример, добавлены






 

Теорема и доказательство на всякий пожарный, для ответа они НЕ нужны, как и пример, добавлены

из соображений: «А вдруг?» J

8. Приведите примеры линейно зависимых элементов линейного пространства, элементами которого являются многочлены от одной переменной.

 

9. Какая система векторов линейного пространства называется базисом?

Система n линейно независимых векторов e1,e2,…,en линейного пространства L называется базисом этого пространства, если всякий вектор а из этого пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов e1,e2,…,en, т.е. а=А1e1 + А2e2 +…+ Аnen, где А1, А2, …, Аn – коэффициенты линейной комбинации.

Теорема Коэффициенты А1, А2, …, Аn определяются единственным образом.

(доказывается от противного, приравниваем и почленно вычитаем)

10. Чем определяется размерность линейного пространства?

Линейное пространство L, в котором существует базис из n векторов, называют n-мерным, а число n – размерностью пространства L. Иногда, чтобы указать размерность пространства пишут Ln.

 

 
11. Что называется подпространством линейного пространства?

Подпространство линейного пространства L – множество элементов из L, которое само является линейным пространством с теми же операциями сложения и умножения на число.

12. Какие примеры подпространств линейного пространства вы знаете?

13. Как определяется скалярное произведение векторов линейного пространст­ва?

 

Скалярное произведение двух векторов (элементов линейного пространства) и . В соответствии с определением справедлива следующая формула

, (1)

которая по известным длинам и векторов и и углу между ними позволяет найти их скалярное произведение. Из курса векторной алгебры известно, что если векторы и заданы своими координатами и , то скалярное произведение может быть вычислено по формуле

. (2)

Заметим, что если известны координаты векторов и , то, используя формулу (2), можно вычислить их скалярное произведение и квадрат длины (как скалярное произведение на самого себя.) Зная же скалярное произведение векторов и длины каждого из них, мы сможем с помощью формулы (1) найти угол между векторами.

14. Какое линейное пространство называется евклидовым?

Определение 1. Вещественное линейное пространство называют евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам и вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое , и при этом выполнены следующие условия:

1. ;

2. , для любого вектора ;

3. , для любого числа ;

4. , если .

Пример. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1 4 определения евклидова пространства.

15. Какие примеры евклидовых пространств вы знаете?

Пример 1. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1–4 определения евклидова пространства.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц можно ввести скалярное произведение векторов по формуле: (a*b) = a1b1+a2b2+…+anbn.

,

На это определение можно смотреть как на обобщение формулы, выражающей скалярное произведение векторов в векторной алгебре, заданных своими координатами. Нетрудно проверить непосредственно, что все 1–4 условия выполнены.

 

Пример 3. В линейном пространстве C[a,b] непрерывных функций на [a,b] можно ввести скалярное произведение функций x(t), y(t) по формуле:

Выполнение условий 1-4 легко проверить, применяя основные правила интегрирования. Пространство C[a,b], с таким образом выделенным скалярным произведением обозначается через C2[a,b].

 

16. Как определяется длинна вектора в евклидовом пространстве?

 

Определение 1. Длиной (модулем) вектора в евклидовом пространстве называют корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя и обозначают , так что

(3.4)

Всякий вектор евклидова пространства имеет длину. У нулевого вектора длина равна нулю, у всякого другого положительна. Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если любой ненулевой вектор умножить на число , то вектор ,имеет длину, равную единице. Эту операцию получения нормированного вектора называют нормированием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для множества свободных векторов введенное определение длины вектора совпадает с обычным понятием длины вектора.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц выражение для длины вектора

имеет вид

.

 

17. Какое неравенство имеет место для скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве?

 

Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных векторов и не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет место неравенство

(1)

 

Доказательство опять же не нужно, но пусть будет, ведь может случиться всякое =)

Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для доказательства неравенства (1) заметим, что в согласии с условием определения евклидова пространства, можем написать

(2)

где любое вещественное число. Используя дважды условие , можем написать левую часть неравенства (2) в виде

Воспользовавшись теперь условием , получим

Обратившись к условию , запишем неравенство (2) окончательно в виде

В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен относительно . Так как этот трехчлен неотрицателен при любом , то его дискриминант не может быть положительным, т. е.

Записав последнее неравенство в виде

и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим

18. Какое неравенство для произвольных векторов выполняется в евклидовом пространстве?

Для произвольных векторов и евклидового пространства выполняется неравенство

, (1)

называемое неравенством треугольника.

Доказательство (как обычно не надо, но есть, это потому что автор- умница =^_^= )

Для доказательства справедливости (1) заметим, что квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя, т. е.

(2)

Обращаясь последовательно к условию в определении евклидова пространства два раза, а затем к условию , можем написать

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

(3)

Из сравнения (2) и (3) следует справедливость (1). Заметим, что если и означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (1) означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его сторон.

19. Когда векторы линейного пространства ортогональны?

Векторы и называются ортогональными, если выполнено равенство

(3.11)

Если и – оба ненулевые, то это определение означает, что угол между и равен . Нулевой вектор, по определению, считается ортогональным любому вектору.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии, скалярное произведение определено известным образом. Орты попарно взаимно ортогональны.

Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором скалярное произведение определено равенством (3.3), векторы

и

ортогональны.

20. Какой базис евклидова пространства называется ортогональным?

21. Какой базис евклидова пространства называется ортонормированным?

Ответ на оба вопроса сразу 2х КОМБО!=__=

Определение 1. Базис евклидова пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, т. е.

при .

Если при этом все векторы базиса единичные, т. е.

то базис называется ортонормированным.

22. Во всяком ли евклидовом пространстве имеются ортонормированные бази­сы?

Теорема. Во всяком ‑ мерном евклидовом пространстве имеются ортонормированные базисы.

 

Опять ХЗ надо ли, скорей всего- нет, но как то это даже не прилично отвечать на вопрос 7 словами О___о

 

Доказательство. Доказательство проведем для случая . Пусть ‑ произвольный базис пространства . Докажем, что с его помощью можно построить ортонормированный базис. Положим , где – некоторое вещественное число, которое мы подберем так, чтобы векторы и были ортогональны, то есть

Используя условия и определения евклидова пространства, получим

откуда получим (так как

(2)

Итак, если в качестве взять число, определяемое равенством (2), то векторы и будут ортогональны, а так как векторы и линейно независимы, то из формулы, определяющей вектор , следует, что он не может стать нулевым. Вектор определим с помощью равенства

, (3)

где вещественные числа и определим так, чтобы вектор был ортогонален к векторам и , т. е. чтобы выполнялись равенства

Используя, как и выше, условия и определения евклидова пространства, можем написать

откуда, учитывая ортогональность векторов и (т. е. ), получим выражение для и

. (4)

Итак, если в качестве и взять числа, определяемые равенствами (4), то вектор будет ортогонален векторам и , так как векторы линейно независимы, то вектор не может быть нулевым (вектор выражается с помощью (3) в виде линейной комбинации векторов )

Базис – ортогональный. Но для того чтобы сделать его ортонормированным, следует каждый из векторов поделить на его длину. Векторы

образуют искомый ортонормированный базис.

Для случая этот процесс следует продолжать до тех пор, пока не найдем последний вектор.

Примененный здесь способ получения ортонормированного базиса из произвольного базиса носит название процесса ортогонализации. Естественно, что каждый вектор в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде

. (5)

где – некоторый ортонормированный базис, – координаты вектора в этом базисе. Отметим, что для координат имеют место равенства

которые получатся, если умножить обе части равенства (5) на .

 

23. Что называется оператором линейного пространства, действующим из одно­го непустого множества в другое непустое множество?

Пусть заданы два различных непустых множества X и X′, элементы которых будем обозначать буквами соответственно x и x′.

Правило (закон), по которому любому элементу x X ставится в соответствие единственный элемент x′ X′ называется оператором, действующим из X в X′.

Если оператор обозначить буквой Å, то результат x′ его применения к элементу x записывают в виде x’ = Åx.

Множество X называется областью определения оператора Å, элемент x′ при этом называется образом элемента x, а сам элемент x – прообразом элемента x′. Совокупность всех образов называется областью значений оператора Å. Если каждый элемент x′ X′ имеет только один прообраз, то оператор Å называется взаимно однозначным. Множество элементов x X, удовлетворяющих равенству Åx = 0, называются ядром оператора Å.

Будем в дальнейшем под X и X′ понимать линейное пространство L.

24. Что называется областью определения оператора линейного пространства?

25. Что называется прообразом элемента?

26. Что называется областью значений оператора линейного пространства?

27. При каком условии оператор линейного пространства называется взаимно-однозначным?







Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 447. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия