Вопрос 12 Механические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).

 

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s = A cos (ω0 + φ),

(1.81)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ω₀ – круговая (циклическая) частота, (φ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0, (ω₀t + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до - А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т. е.

ω0(t+T)+φ =(ω0t +φ)+2π;

(1.82)

откуда

Т=2π/ω0.

(1.83)

Величина, обратная периоду колебаний,

ν = 1/T

(1.84)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (1.83) и (1.84), получим

ω0=2πν;.

(1.85)

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

ds /dt = -Aω0 sin(ω0 t +φ) = Aω0 cos (ω0t +φ+π/2);	(1.86)
d2s / dt2 = -Aω02 cos (ω0 t + φ)= Aω02cos (ω0 t+φ+π),	(1.87)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (1.86) и (1.87) соответственно равны Аω₀ и Аω₀². Фаза величины (1.86) отличается от фазы величины (1.81) на π/2, а фаза величины (1.87) отличается от фазы величины (1.81) на π. Следовательно, в моменты времени, когда s = 0, ds/dt приобретает наибольшие значения; когда же s достигает отрицательного максимального значения, то d²s /dt² приобретает положительное наибольшее значение (рисунок 1.53).

 

Из выражения (1.87) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(1.88)

(где s=A cos (ω₀t +φ)).

Решением этого уравнения является выражение (1.81).