Примеры. Пусть − коммутативное кольцо с единицей.Определители 10. Определение. Пусть − коммутативное кольцо с единицей. Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с элементами из называется элемент кольца : D= =det = = , где сумма берется по всем перестановкам s множества из элементов, e(s) – знак перестановки. Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведения из сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно . Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц. Иногда вместо определитель используют термин детерминант (по латыни). Примеры. 1. Если , то матрица состоит из одного элемента, т.е. . Тогда . 2. Если , то = . Формула для определителя в этом случае содержит 2!=2 слагаемых, соответствующих тождественной перестановке e= , e()=1, и перестановке p= , e(p)=-1. Получаем . 3. Если , то = . В этом формула для определителя содержит 3!=6 слагаемых, соответствующих перестановкам s0= , e(s0)=1, s1= , e(s1)=-1, s2= , e(s2)=1, s3= , e(s3)=-1, s4= , e(s4)=1, s5= , e(s5)=-1. Получаем
т.е., . Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,
Примеры. 1) =1 4−3 (-2)=10 2) = =3−8+6−2=−1 3) =1 1 1=1 => det En=1 "n 4) = 5) =? 6) = 7) = Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя. 20. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы. Пусть = Î . Определение 2. Матрица = Î называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: -й столбец матрицы состоит из элементов -ой строки матрицы , расположенных в том же порядке. Операция называется транспонированием. Пример: А= => AT= Свойства операции транспонирования матриц. 1. (АТ)Т=А 2. (А+В)Т=АТ+ВТ 3. (aА)Т=aАТ Доказательство свойств 1-3 − самостоятельно. 4. "АÎКm,n BÎКn,p справедливо (АВ)Т= ВТАТ Доказательство: АÎКm,n BÎКn,p=>ABÎКm,p=> (AB)TÎКp,m Легко видеть, что ВТÎКр,n,ATÎКn,m => AT BTÎКp,m Пусть - элемент матрицы (AB)T,стоящий в i-й строке и j-том столбце => = cji,где cji – элемент j-ой строки и i-того столбца матрицы АВ => = cji = ,где аjkÎA, bkiÎB Но аjk= , bki= , где и - элементы АТ и ВТ, соответственно => , где последняя сумма – произведение элементов i-й строки ВТ на j-й столбец АТ,те -элемент ВТАТ =>(АВ)Т= ВТАТ чтд. 5. (АВС)Т=((АВ)С)Т=СТ(АВ)Т=СТВТАТ (А1…АК)Т =А1Т …. АКТ Def 4: если квадратная АÎКn,n: AT=A, то А называется симметричной, тогда аij=aji, если AT= -A, те аij=-aji,то А – называется кососимметричной (антисимметричной). Свойство 10:определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы,те detA=detAT Доказательство:пусть А=(аij), AT=(),тк detA и detAТ имеют одинаковое количество членов(n!),то достаточно показать,что " член detA является членом detAТ и наоборот. Все члены detA имеют вид: и составлены из членов,находящихся в разных строках и столбцах=>этот же член является членом detAТ.верно и обратное => члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками. Знак равен e(s).Этот член входит в detAТ как и имеет знак e(s-1)(см свойство 2 перестановок).=>т.к. e(s-1)= e(s) => определители detAТ и detА являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками=> detAТ= detA. чтд Следствие:всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот. Свойство 20.Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю. Доказательство: на самом деле, пусть i-я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент => все члены нулевые=>detA=0 чтд Свойство 30.Если матрица BÎКn,n получена из АÎКn,n перестановкой каких-либо двух строк,то detB=-detA Доказательство: пусть А= , В= (i),(j)-строки Если входит в А,то все его члены и в В остаются в разных столбцах и строках=> он входит и в detB.Для знак e(s),а в detB надо считать знак перестановки p= эта перестановка получается из s транспозицией в верхней строке =>она имеет противоположную четность, те e(p)=e(i,j)e(s)= -e(s)=>все члены detA входят в detB с противоположным знаком=> detB=-detA чтд. Свойство 40:Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю Доказательство:Пусть detA=D и i,j-строки равны=>после их перестановки определитель равен -D,но тк переставлены одинаковые строки=>он тот же самый=> D=-D=>D=0. Свойство 50:Если В получена из А умножением некоторой строки на lÎК, то detB=ldetA Доказательство: В= = =ldetA Свойство 60:Если А содержит две пропорциональные строки,то detA=0 Доказательство:Пусть j-я строка равна li –строка =>l можно вынести из j-й строки(свойство 5)=>по свойству 4=>detA=ldetB=l*0=0.чтд Свойство 70: Если все элементы i-строки матрицы АÎКn,n представлены в виде двух слагаемых: , то detA= , где , имеют все строки,кроме i-ой,как в А,а i-я строка состоит из ,а - из ,те Доказательство:detA= = = =det +det чтд Следствие: тоже самое, когда ,те сумма h слагаемых Свойство 80:Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю. Доказательство: Если i-ая строка есть линейная комбинация остальных s строк 1£s£n-1, то"элемент i-ой строки –сумма s элементов=>по следствию к свойству 70 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых i-ая строка пропорциональна одной из строк=>они равны 0. чтд Свойство 90:Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число. Доказательство: Если к i-ой строке прибавляется j-ая строка, умноженная на l,то в новом определители i-ая строка равна аik+lajk.тогда на основании 70 этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен D,а второй содержит две пропорциональные строки=>равен 0. чтд Следствие:Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк.
|