Студопедия — Примеры. Пусть − коммутативное кольцо с единицей.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры. Пусть − коммутативное кольцо с единицей.






Определители

10. Определение.

Пусть − коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с элементами из называется элемент кольца :

D= =det = = ,

где сумма берется по всем перестановкам s множества из элементов, e(s) – знак перестановки.

Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведения из сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно .

Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц.

Иногда вместо определитель используют термин детерминант (по латыни).

Примеры.

1. Если , то матрица состоит из одного элемента, т.е. . Тогда .

2. Если , то = . Формула для определителя в этом случае содержит 2!=2 слагаемых, соответствующих тождественной перестановке e= , e()=1, и перестановке p= , e(p)=-1. Получаем

.

3. Если , то = . В этом формула для определителя содержит 3!=6 слагаемых, соответствующих перестановкам s0= , e(s0)=1, s1= , e(s1)=-1, s2= , e(s2)=1, s3= , e(s3)=-1, s4= , e(s4)=1, s5= , e(s5)=-1. Получаем

т.е.,

.

Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,

Примеры.

1) =1 4−3 (-2)=10

2) =

=3−8+6−2=−1

3) =1 1 1=1 => det En=1 "n

4) =

5) =?

6) =

7) =

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.

20. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Пусть = Î .

Определение 2. Матрица = Î называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: -й столбец матрицы состоит из элементов -ой строки матрицы , расположенных в том же порядке.

Операция называется транспонированием.

Пример: А= => AT=

Свойства операции транспонирования матриц.

1. (АТ)Т

2. (А+В)ТТТ

3. (aА)Т=aАТ

Доказательство свойств 1-3 − самостоятельно.

4. "АÎКm,n BÎКn,p справедливо (АВ)Т= ВТАТ

Доказательство: АÎКm,n BÎКn,p=>ABÎКm,p=> (AB)TÎКp,m

Легко видеть, что ВТÎКр,n,ATÎКn,m => AT BTÎКp,m

Пусть - элемент матрицы (AB)T,стоящий в i-й строке и j-том столбце => = cji,где cji – элемент j-ой строки и i-того столбца матрицы АВ =>

= cji = ,где аjkÎA, bkiÎB

Но аjk= , bki= , где и - элементы АТ и ВТ, соответственно => , где последняя сумма – произведение элементов i-й строки ВТ на j-й столбец АТ,те -элемент ВТАТ =>(АВ)Т= ВТАТ чтд.

5. (АВС)Т=((АВ)С)ТТ(АВ)ТТВТАТ

1…АК)Т1Т …. АКТ

Def 4: если квадратная АÎКn,n: AT=A, то А называется симметричной, тогда аij=aji, если AT= -A, те аij=-aji,то А – называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 10:определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы,те detA=detAT

Доказательство:пусть А=(аij), AT=(),тк detA и detAТ имеют одинаковое количество членов(n!),то достаточно показать,что " член detA является членом detAТ и наоборот.

Все члены detA имеют вид: и составлены из членов,находящихся в разных строках и столбцах=>этот же член является членом detAТ.верно и обратное => члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками.

Знак равен e(s).Этот член входит в detAТ как и имеет знак e(s-1)(см свойство 2 перестановок).=>т.к. e(s-1)= e(s) => определители detAТ и detА являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками=> detAТ= detA. чтд

Следствие:всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.

Свойство 20.Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю.

Доказательство: на самом деле, пусть i-я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент => все члены нулевые=>detA=0 чтд

Свойство 30.Если матрица BÎКn,n получена из АÎКn,n перестановкой каких-либо двух строк,то detB=-detA

Доказательство: пусть А= , В= (i),(j)-строки

Если входит в А,то все его члены и в В остаются в разных столбцах и строках=> он входит и в detB.Для знак e(s),а в detB надо считать знак перестановки p= эта перестановка получается из s транспозицией в верхней строке =>она имеет противоположную четность, те e(p)=e(i,j)e(s)= -e(s)=>все члены detA входят в detB с противоположным знаком=> detB=-detA чтд.

Свойство 40:Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю

Доказательство:Пусть detA=D и i,j-строки равны=>после их перестановки определитель равен -D,но тк переставлены одинаковые строки=>он тот же самый=> D=-D=>D=0.

Свойство 50:Если В получена из А умножением некоторой строки на lÎК, то detB=ldetA

Доказательство: В= = =ldetA

Свойство 60:Если А содержит две пропорциональные строки,то detA=0

Доказательство:Пусть j-я строка равна li –строка =>l можно вынести из j-й строки(свойство 5)=>по свойству 4=>detA=ldetB=l*0=0.чтд

Свойство 70: Если все элементы i-строки матрицы АÎКn,n представлены в виде двух слагаемых: , то detA= , где , имеют все строки,кроме i-ой,как в А,а i-я строка состоит из - из ,те

Доказательство:detA= = = =det +det чтд

Следствие: тоже самое, когда ,те сумма h слагаемых

Свойство 80:Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

Доказательство: Если i-ая строка есть линейная комбинация остальных s строк 1£s£n-1, то"элемент i-ой строки –сумма s элементов=>по следствию к свойству 70 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых i-ая строка пропорциональна одной из строк=>они равны 0. чтд

Свойство 90:Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Доказательство: Если к i-ой строке прибавляется j-ая строка, умноженная на l,то в новом определители i-ая строка равна аik+lajk.тогда на основании 70 этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен D,а второй содержит две пропорциональные строки=>равен 0. чтд

Следствие:Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк.







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 557. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

ТЕХНИКА ПОСЕВА, МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ЧИСТЫХ КУЛЬТУР И КУЛЬТУРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МИКРООРГАНИЗМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА БАКТЕРИЙ Цель занятия. Освоить технику посева микроорганизмов на плотные и жидкие питательные среды и методы выделения чис­тых бактериальных культур. Ознакомить студентов с основными культуральными характеристиками микроорганизмов и методами определения...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия