Нахождение пути, пройденного точкой при прямолинейном движении

Известно, что путь, пройденный точкой, движущейся в одном направлении при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле П = υt (υ; – модуль скорости точки). Если точка движется неравномерно в одном направлении и модуль её скорости меняется в зависимости от времени t, т.е. υ;= f(t), то для нахождения пути, пройденного за время от t ₁ до t ₂, разделим этот промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой из таких частей модуль скорости будем считать постоянным и равным значению модуля скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный точкой путь будет приближённо равен сумме , т.е. . Если функция υ(t) непрерывна, то

.

Итак:

.

Пример 1. Модуль скорости движения точки задаётся формулой . Найти путь, пройденный точкой за первые t ₁ =4 с от начала (t ₀ =0 с) движения.

РЕШЕНИЕ:

Согласно формуле расчёта пути, имеем

.

ОТВЕТ: За 4 с точка прошла 244 м.

Пример 2. Определить путь, пройденный точкой от начала движения (t ₀ =0 с) до остановки (t ₁), если модуль скорости точки на данном отрезке времени изменяется по закону .

РЕШЕНИЕ:

Согласно формуле расчёта пути, имеем

.

Найдём момент времени t ₁ остановки точки, для чего приравняем модуль скорости точки к нулю и решим уравнение относительно t:

t ₁ – момент времени остановки точки; t ₀ – момент времени начала движения.

Следовательно:

.

Пример 3. Две точки А и В одновременно начали прямолинейное из одной точки в одном направлении. Модули скоростей точек с течением времени изменяются по законам: Через сколько времени расстояние между ними будет равно 250 м.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим момент времени, соответствующий расстоянию 250 м () между движущимися точками А и В, – t ₁. Тогда:

;

;

Вычисление работы силы, произведённой при движении материальной точки

Пусть материальная точка движется под действием силы . Необходимо найти работу, совершаемую силой при перемещении материальной точкой из положения, задаваемого радиусом-вектором , в положение, задаваемое радиусом-вектором . Если сила постоянна, то работа находится по формуле .

Пусть сила, действующая на материальную точку, изменяется в зависимости от положения материальной точки: . Для того, чтобы найти работу, совершаемую силой при перемещении материальной точкой из положения, задаваемого радиусом-вектором , в положение, задаваемое радиусом-вектором , разделим весь путь материальной точки на n частей . На каждой части на материальную точку действует сила . Работа будет приближённо равна интегральной сумме:

.

При устремлении (или при n →∞) получим точное равенство:

Итак: