Визначте загальну суму зарплат по кафедрах.

(незв'язані вибірки однакових обсягів)

Емпіричні дані групуються у вигляді стовпців індивідуальних значень. Кожний стовпець представляє певну вибірку, відповідає певній умові або певній градації фактора. Розрахунки сум, середніх, дисперсій, квадратів сум виконуються по стовпцях.

Математичний апарат і введені позначення:

n – кількість об'єктів (рядків);

c – кількість факторів (стовпчиків);

i – індекс рядків змінюється від 1 до n (i =1, 2, …, n);

j – індекс стовпчиків змінюється від 1 до c (j =1, 2, …, c);

N = n·c – загальна кількість індивідуальних значень;

SS_факт – характеризує варіативність ознаки, зумовлену дією досліджуваного фактора;

SS_загал – характеризує загальну варіативність ознаки;

SS_випад – характеризує варіативність ознаки, зумовлену дією неврахованих випадкових факторів;

S – сума всіх емпіричних індивідуальних значень;

T²_с – квадрат суми елементів певного стовпця;

MS_факт і MS_випад – усереднені значення SS_факт і SS_випад.

Скорочене позначення «суми квадратів» SS є абревіатурою від (S um of S quares), позначення «середнє квадрата» MS – від (M ean S quare).

Суми:

; .

Суми квадратів:

;

;

.

Ступені вільності:

df_факт = с –1; df_загал = N –1; df_випад = df_загал – df_факт.

 

Середні сум квадратів:

;

.

Емпіричний критерій:

.

 

Приклад 6.1. Трьом групам студентів (по 7 осіб у кожній) промовлялися з різною швидкістю (низькою, середньою, високою) десять слів. Необхідно підтвердити або спростувати припущення про те, що швидкість пред'явлення слів впливає на показники їх відтворення (емпіричні дані див. у табл. рис. 6.1).

Рішення

1. Формулювання гіпотез. Зважаючи на умови завдання, маємо варіант неспрямованих гіпотез:

H₀: Відмінності в обсязі відтворення слів серед груп студентів (фактор швидкість) не є більш вираженими, ніж випадкові відмінності усередині кожної групи.

H₁: Відмінності в обсязі відтворення слів серед груп студентів (фактор швидкість) є більш вираженими, ніж випадкові відмінності усередині кожної групи.

2. Формулювання припущень:

- досліджуваний параметр має нормальний розподіл;

- вибірки незв'язані однакових обсягів;

- виміри за шкалою відношень.

3. Вибір статистичного критерію. Цій ситуації відповідає модель двобічного F -критерію.

Розрахунки емпіричного критерію F_емп для наочності розглянемо спочатку у розгорнотому вигляді, як елементарні математичні розрахунки, а потім – з використанням засобів табличного процесора MS Excel (див. рис. 6.1 і 6.2).

Математичні розрахунки

Параметри вибірок:

n = 7 – кількість об'єктів (рядків);

c = 3 – кількість факторів (стовпчиків);

N = 7·3 = 21– загальна кількість значень.

Суми квадратів:

;

;

SS_випад = 36,57–20,86 = 15,71.

Ступені вільності:

df_факт = 3–1 = 2; df_загал = 21–1 = 20; df_випад = 20–2 = 18;

Середні сум квадратів:

; .

Емпіричний критерій:

.

Реалізація однофакторного дисперсійного аналізу з використанням функцій табличного процесора Excel показано на рис. 6.1.

 

Рис. 6.1. Розрахунки однофакторного дисперсійного аналізу

 

4. Визначення критичного значення F- критерію для дисперсійної однофакторної моделі можна отримати за допомогою функції =FРАСПОБР() табличного процесора MS Excel для прийнятого рівня значущості α; і ступенів вільності df₁ і df₂.

Для α = 0,05 (0,01) і числа ступенів вільності df₁ = df_факт = 2 і df₂ = df_випад = 18 отримаємо F_0,05 ≈ 3,55 і F_0,01 ≈ 6,01.

На рис.6.2 наведено розрахункові формули табличного процесора Excel для визначення основних параметрів однофакторного дисперсійного аналізу.

 

Рис. 6.2. Емпіричні дані і розрахункові формули однофакторного дисперсійного аналізу (незв'язані вибірки однакових обсягів)

 

5. Висновки: оскільки F_емп > F_0,01 (11,95>6,01), нульова гіпотеза H₀ відхиляється. Отже, відмінності в обсязі відтворення слів серед груп студентів (фактор швидкість) є більш вираженими, ніж випадкові відмінності усередині кожної групи, на рівні значущості 0,01. Цю залежність можна представити графічно на рис. 6.3.

Розрахунки однофакторної моделі можна провести за допомогою пакета «Аналіз даних» розділ «Однофакторний дисперсійний аналіз» (рис. 6.4), який викликається через команди головного меню процесора Excel «Сервіс»–«Аналіз даних…».

Рис. 6.3. Залежність середнього обсягу відтворених слів від швидкості пред'явлення

 

Рис. 6.4. Меню пакета «Аналіз даних»

 

Для розрахунків необхідно ввести відповідні параметри (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Діалогове вікно «Однофакторний дисперсійний аналіз»

Після виконання команди «ОК» можна отримати результати однофакторного дисперсійного аналізу (рис. 6.6).

Як бачимо, цей комп'ютерний пакет виконує розрахунки основних статистик (суми, середні, дисперсії, значення емпіричних і теоретичних F-критеріїв тощо), які дають можливість робити статистичні висновки.

Рис. 6.6. Результати однофакторного дисперсійного аналізу (α=0,05)

Проте самі висновки дослідник повинен формулювати самостійно, дотримуючись правил прийняття-відхилення тієї чи іншої гіпотези на певному рівні значущості α; (ймовірності виникнення помилки 1-го роду – відхилення вірної гіпотези).

Завдання для самостійного виконання

Задача Л9.1. Трьом групам учнів (по 6 осіб) промовляли з різною швидкістю (низькою, середньою, високою) десять слів. Чи існує зв'язок між показниками розуміння сенсу слів і швидкістю їх пред'явлення. Емпіричні результати представлені у табл. 11.10. Знайти рішення «традиційним» способом та за допомогою пакета Excel «Аналіз даних» розділ «Однофакторний дисперсійний аналіз». Зробити висновки.

Таблиця 11.10

Результати відтворення слів

i	Швидкість (j)по групах
1:низька	2:середня	3:висока

 

Визначте загальну суму зарплат по кафедрах.

Розміщуємо курсор в одну з комірок списку і задаємо команду Данные/Сводные таблицы. На першому кроці потрібно вибрати джерело даних. Встановлюємо перемикач на позицію В списке или базе данных Microsoft Excel. Вид звіту – Сводная таблица. На другому кроці задаємо діапазон даних (Excel за замовчуванням задасть весь діапазон в якому знаходиться комірка). На третьому кроці задаємо структуру зведеної таблиці (В Excel 2000 натискаємо кнопку Макет). Перетягаємо поле Кафедра в Область рядків, а поле Зарплата в Область даних. Майстер зведених діаграм автоматично вибере функцію сумування, оскільки дані – числові. На наступному кроці (В Excel 2000 повертаємось на третій крок) визначаємо місце розташування таблиці, наприклад, Новый лист. Перейменуйте новий аркуш на Зарплата_кафедри. Отримана таблиця починатиметься з третього рядка. Видаліть два попередніх. Надайте таблиці певного формату на свій розсуд. Створіть кругову діаграму, яка показуватиме числові та відсоткові значення сумарних зарплат за кафедрами.

5. Змініть напрям розташування даних зі стовпців на рядки.

Перетніть поле з комірки А2 в комірку В1.

6. Змініть дані в основній таблиці і відобразіть зміну в зведеній таблиці.

Змінивши дані в основній таблиці задайте Данные/Обновить данные або натиснувши кнопку Обновить данные панелі інструментів Сводная таблица.

7. Знайдіть максимальні значення по зарплатах на кафедрах.

Виділіть будь-яку комірку в області даних і клацніть на кнопку Поле сводной таблицы (для Excel 2000 – Параметры поля). В вікні Вычисление поля сводной таблицы оберемо підсумкову функцію Максимум.

8. Знайдіть середню зарплату по кафедрах.

9. Реорганізуйте таблицю. Перемістивши кафедри в область стовпців. Розташуйте в області даних одночасно наступні підсумкові функції: Сумма, Среднее, Максимум, Минимум.

Зверніть увагу, що в області рядків з’явилось нове поле Данные, щоб можна було позначити результати обчислень за різними підсумковими функціями.

10. Знайдіть кількість чоловіків та жінок на кафедрах.

Створіть нову зведену таблицю на базі існуючої. Формуючи макет перетягніть поле Кафедра в область рядків, а поле Стать в область стовпців. В область даних також перетягніть поле Кафедра. На останньому кроці задайте місцем розташування той же аркуш, що і для першої таблиці, тільки вказавши початковою коміркою А12.

11. Збережіть дану книгу. Закрийте вікна. Закінчіть роботу. Здайте звіти.