Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространстве

Теорема: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда существуют ортогональный оператор и самосопряженный оператор такие, что .

Лемма 1: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда и самосопряженный линейный оператор на пространстве и все собственные значения вещественные и неотрицательные.

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, но для конечномерных пространств доказательство этой леммы проще.

Лемма 2: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда .

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, в доказательстве теоремы достаточно включения .

Лемма 3: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, и – два его ортонормированных базиса с матрицей перехода , тогда существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех , т.е. с относительно базиса .

Лемма 4: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а с диагональной матрицей с матрицей относительно ортонормированного базиса этого пространства, тогда – самосопряженный линейный оператор на .

Доказательство теоремы:

1. упорядочим собственные значения : ,

2. В линейном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора , причем , при .

3.

при ,где – дельта Кронекера. Тогда ­ ортогональная система векторов, причем .

4. Положив при , получим ортонормированную систему векторов . Дополним эту систему до ортонормированного базиса в линейном пространстве .

5. Причем при , а , при , так как по лемме 2 . Т.е.

.

6. Заметим, что отображение имеет диагональную матрицу относительно ортонормированного базиса , а значит, согласно лемме 2, является самосопряженным.

7. и – два ортонормированных базиса существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех .

8.

Получили, что , где и .

PS. В п.8. – диаграмма, нарисовать ее в Word-е сложно, имеются в виду три отображения: ,

и .


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Закрепление тем курсовых работ | ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЫБОРА МЕТОДА СИНТЕЗА

Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 733. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.022 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7