Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространствеТеорема: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда существуют ортогональный оператор и самосопряженный оператор такие, что . Лемма 1: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда и самосопряженный линейный оператор на пространстве и все собственные значения вещественные и неотрицательные. Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, но для конечномерных пространств доказательство этой леммы проще. Лемма 2: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда . Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, в доказательстве теоремы достаточно включения . Лемма 3: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, и – два его ортонормированных базиса с матрицей перехода , тогда существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех , т.е. с относительно базиса . Лемма 4: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а с диагональной матрицей с матрицей относительно ортонормированного базиса этого пространства, тогда – самосопряженный линейный оператор на . Доказательство теоремы: 1. упорядочим собственные значения : , 2. В линейном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора , причем , при . 3. при ,где – дельта Кронекера. Тогда ортогональная система векторов, причем . 4. Положив при , получим ортонормированную систему векторов . Дополним эту систему до ортонормированного базиса в линейном пространстве . 5. Причем при , а , при , так как по лемме 2 . Т.е. . 6. Заметим, что отображение имеет диагональную матрицу относительно ортонормированного базиса , а значит, согласно лемме 2, является самосопряженным. 7. и – два ортонормированных базиса существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех . 8.
Получили, что , где и . PS. В п.8. – диаграмма, нарисовать ее в Word-е сложно, имеются в виду три отображения: , и .
|