Студопедия — Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространстве
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространстве

Теорема: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда существуют ортогональный оператор и самосопряженный оператор такие, что .

Лемма 1: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда и самосопряженный линейный оператор на пространстве и все собственные значения вещественные и неотрицательные.

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, но для конечномерных пространств доказательство этой леммы проще.

Лемма 2: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда .

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, в доказательстве теоремы достаточно включения .

Лемма 3: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, и – два его ортонормированных базиса с матрицей перехода , тогда существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех , т.е. с относительно базиса .

Лемма 4: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а с диагональной матрицей с матрицей относительно ортонормированного базиса этого пространства, тогда – самосопряженный линейный оператор на .

Доказательство теоремы:

1. упорядочим собственные значения : ,

2. В линейном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора , причем , при .

3.

при ,где – дельта Кронекера. Тогда ­ ортогональная система векторов, причем .

4. Положив при , получим ортонормированную систему векторов . Дополним эту систему до ортонормированного базиса в линейном пространстве .

5. Причем при , а , при , так как по лемме 2 . Т.е.

.

6. Заметим, что отображение имеет диагональную матрицу относительно ортонормированного базиса , а значит, согласно лемме 2, является самосопряженным.

7. и – два ортонормированных базиса существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех .

8.

Получили, что , где и .

PS. В п.8. – диаграмма, нарисовать ее в Word-е сложно, имеются в виду три отображения: ,

и .




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Закрепление тем курсовых работ | ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЫБОРА МЕТОДА СИНТЕЗА

Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 867. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия