Оценка погрешностей прямых измерений

Для оценки погрешности прямого измерения требуется понять, какие факторы вносят ошибки в измерения и оценить влияние каждого из них. Все ошибки можно разделить на несколько категорий:

1. Грубые погрешности или промахи возникают вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Результаты измерения, содержащие грубые погрешности обычно сильно отличаются от ожидаемых значений. Промахов следует избегать. Если имеется подозрение на промах, нужно принять меры к устранению неисправностей и повторить измерение, либо отбросить результаты соответствующих измерений.

2. Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Среди систематических погрешностей можно выделить приборную погрешность и погрешность метода.

a. Приборные погрешности обусловлены несовершенством измерительных приборов. Приборная погрешность указывается производителем в технической документации. В большинстве случаев, измерительные приборы конструируются таким образом, что приборная погрешность будет не больше погрешности округления, возникающей при считывании результата измерения. Например, за приборную погрешность линейки принято брать половину цены деления, а за приборную погрешность цифрового прибора единицу последнего отображаемого разряда. Если на олимпиаде школьнику попался прибор, приборную погрешность которого он не знает и затрудняется оценить, ему следует задать вопрос жюри.

b. Погрешность метода возникает тогда, когда измеряется не совсем то, что нужно.

Пример: Рассмотрим две схемы определения сопротивления:

Рис. 1	Рис. 2

В схеме, показанной на рис. 1, амперметром измеряется не сила тока через резистор, а суммарная сила тока через резистор и вольтметр. При делении показаний вольтметра на показания амперметра получится сопротивление эквивалентное сопротивлению параллельному соединению резистора и внутреннего сопротивления вольтметра. Аналогично, на схеме, показанной на рис. 2, вольтметром измеряется падение напряжения на резисторе и амперметре, а не только на резисторе. И конечное сопротивление, получившееся из отношения показаний приборов, будет являться суммой сопротивления резистора и внутреннего сопротивления вольтметра. Результат измерений в первом и втором случае будет отличаться от реального сопротивления резистора, и разность между получившимися значениями и реальным сопротивлением резистора будет представлять погрешность метода измерений сопротивления резистора. Величина погрешности метода в данном случае будет зависеть от отношения измеряемого сопротивления и внутреннего сопротивления приборов. У мультиметров, которые обычно используются на школьных олимпиадах, внутреннее сопротивление в режиме вольтметра составляет , а в режиме амперметра от до , в зависимости от диапазона измерений. Поэтому для измерения сопротивления порядка кОм предпочтительнее схема 1, погрешность метода в этом случае будет иметь порядок , а для измерения сопротивлений порядка нескольких МОм схема 2 подходит явно лучше. В разобранном примере погрешность метода можно полностью исключить, если учесть внутреннее сопротивление приборов в расчётах.

3. Случайными называются погрешности, которые меняют свою величину и знак в процессе измерений. Эти погрешности обусловлены влиянием случайных факторов, таких как тряска, электрические шумы, люфт в механических приборах или природой самой измеряемой величины. Всё это приводит к тому, что при повторении одного и того же измерения результаты будут немного отличаться, «колебаться» вблизи истинного значения (если отсутствуют систематические ошибки). Единственный метод оценки случайных погрешностей — это повторение измерений. Пусть одно и то же измерение было проведено раз и были получены значения . Поскольку все отклонения случайны, за наилучшую оценку измеряемой величины логично принять среднее арифметическое

Остаётся, однако, неясно, совпадает ли с истинным значением измеряемой величины? При отсутствии систематических ошибок и при числе измерений стремящемся к бесконечности, среднее значение будет стремиться к истинному. Но на практике число измерений конечно. Математически доказано, что в случае, если случайный разброс результатов измерений обусловлен влиянием многих независимых факторов, то с вероятностью более 65% истинное значение измеряемой величины будет лежать в диапазоне

где величина рассчитывается по формуле

Величину в этом случае будем принимать как оценку случайной погрешности измерения величины .

Математически доказано, что увеличение числа измерений приводит к уменьшению случайной погрешности.

Однако нет смысла проводить слишком много измерений, ведь помимо случайной есть ещё и систематическая погрешность, которая никуда не исчезает. Разумно действовать следующим образом: сначала найти оптимальное число измерений, такое, что случайная погрешность была бы заведомо меньше систематической, но само число измерений не было бы очень большим. Затем проводить каждый раз нужное число измерений, рассчитывать среднее, но не рассчитывать случайную погрешность по приведённой выше сложной формуле, понимая, что случайная погрешность всё равно мала в сравнении с систематической. Для уменьшения количества измерений можно попытаться улучшить условия проведения эксперимента так, чтобы влияние внешних факторов на эксперимент снизилось и уменьшило случайную погрешность.

4. Сложение случайной и систематической погрешностей. Если количество измерений, необходимое для соблюдения условия превосходства систематической погрешности над случайной, слишком велико, то можно оценить итоговую погрешность величины, просуммировав факторы случайной и систематической погрешности.

Так как такая формула учета погрешностей слишком громоздка и неудобна в вычислении, то более разумно воспользоваться более простой оценкой:

А для более простой оценки случайной погрешности можно воспользоваться другой, более простой формулой:

Пример:

Пусть необходимо измерить время секундомером какого-то легко воспроизводимого процесса T. Приборная погрешность измерения этого времени составляет . Измерив время несколько раз, находим среднее значение времени и его случайную погрешность.

			<
55,3	55,8	0,5	0,5
56,6	0,8
55,7	0,1
56,2	0,4
55,2	0,6

После этого рассчитаем сумму случайно и приборной погрешности измерения времени и запишем ответ:

 

5. Метод рядов. Для уменьшения относительной погрешности получаемого в результате эксперимента результата при фиксированной приборной ошибке измерений, часто измеряют не непосредственно величину, а сумму ее нескольких значений. К примеру, если померить линейкой толщину проволоки, то относительная ошибка измерений может оказаться очень большая. Но если измерить толщину пятидесяти диаметров проволоки, намотанной на карандаш, относительная погрешность такого результата будет в 50 раз меньше, что даст более точное значение толщины проволоки.