Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение задач нелинейного программирования методом Лагранжа




Метод Лагранжа заключается в выполнении следующих действий.

1. Если в системе ограничений встречаются неравенства, то, вводя дополнительные переменные, преобразовать неравенства в равенства.

2. Для заданной системы ограничений и целевой функции составить функцию Лагранжа:

где есть неопределённые коэффициенты[2].

3. Приравнять к нулю все частные производные первого порядка функции L, и получить систему уравнений (в общем случае нелинейных уравнений):

4. Решить полученную систему и, тем самым, найти все стационарные точки функции , то есть такие точки, в которых функция может иметь экстремумы (минимумы или максимумы).

5. Исследовать каждую точку на наличие в ней экстремума функции , применяя следующую теорему:

если функция дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки S = , причём все её вторые производные в этой окрестности непрерывны, то функция имеет в точке S:

минимум, если все числа D1, D2, …, Dn являются положительными,

максимум, если знаки чисел D1, D2, …, Dn чередуются, начиная с минуса,

где

Если же числа Di не являются положительными или их знаки не чередуются, то вопрос о наличии экстремума функции в стационарной точке остаётся открытым и требует дополнительных исследований.

Для решения задач нелинейного программирования целесообразно использовать программные системы символьных вычислений, например, систему MathCad.

Пример. Решить методом Лагранжа в системе MathCad следующую задачу нелинейного программирования:

Решение.

1. Объявляем целевую функцию f и функцию Лагранжа L:

2. Находим стационарные точки:

а) объявляем все частные производные первого порядка функции L:

объявление производной результат

б) приравниваем к нулю все частные производные первого порядка функции Лагранжа L и получаем систему, которую решаем с помощью блока Given:

Таким образом, функция f имеет одну стационарную точку (91, 89).

3. Для каждой стационарной точки проверяем наличие у функции f минимума или максимума. Для этого:

а) объявляем все производные второго порядка целевой функции f:

объявление производной результат

б) вычисляем значения всех производных второго порядка функции f в каждой стационарной точке:

в) вычисляем значения членов последовательности

Так числа D1, D2 положительны, то функция f в точке (91, 89) имеет минимум, равный

Ответ. Функция при условии имеет минимум 17278, который достигается при x1 = 91, x2 = 89.







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 2492. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия