Ой учебный вопрос. Классификация математических моделей для разработки управленческого решения.

 

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий.

Дихотомия – раздвоенность, последовательное деление на две части, не связанные между собой. Дихотомическое деление в математике является способом образования взаимоисключающих подразделов одного понятия или термина и служит для образования классификации элементов.

 

I. По способам отражения действительности:

1) аналоговая модель – модель, свойства которой определяются законами, аналогичными законам изучаемой системы;

2) концептуальная модель – это предварительное, приближенное представление о рассматриваемом объекте или процессе; часто концептуальная модель имеет вид схемы, в которой фиксируются наиболее существенные параметры и связи между ними. На этом этапе ограничиваются обычно не количественными, а качественными категориями, т.е., например, отмечают, что какая-то переменная возрастает при убывании значений другой (а какова точно эта зависимость — будет выяснено на следующих стадиях разработки модели);

3) структурная модель (структура изучаемого объекта, его внутренние параметры);

4) информационная модель – модель объекта, представленная в виде информации, описывающей существенные для данного рассмотрения параметры и переменные величины объекта, связи между ними, входы и выходы объекта и позволяющая путём подачи на модель информации об изменениях входных величин моделировать возможные состояния объекта.

Информационные модели нельзя потрогать или увидеть, они не имеют материального воплощения, потому что строятся только на информации. Информационная модель — совокупность информации, характеризующая существенные свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Информационные модели делятся:

· описательные информационные модели – это модели, созданные на естественном языке (т.е. на любом языке общения между людьми) в устной или письменной форме;

· формальные информационные модели – это модели, созданные на формальном языке (т.е. научном, профессиональном или специализированном). Примеры формальных моделей: все виды формул, таблицы, графы, карты, схемы и т.д.;

5) функциональная модель – модель, описывающая поведение системы безотносительно к ее внутренней структуре.

 

II. По предназначению моделей:

1) балансовая модель (система уравнений – балансовых соотношений, балансовых уравнений, которые удовлетворяют требованию соответствия двух элементов: наличия ресурса и его использования (например, производства каждого продукта и потребности в нем, рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг). Соответствие здесь понимается либо как равенство, либо менее жестко — как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва);

2) описательная или дескриптивная модель – предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объектов.

3) имитационная модель – позволяет имитировать поведение объекта испытаний на вычислительной машине. Экономико-математическая модель изучаемой системы, предназначенная для использования в процессе машинной имитации. Она является по существу программой для компьютера, а эксперимент над ней состоит в наблюдении за результатами расчетов по этой программе при различных задаваемых значениях вводимых экзогенных переменных. Является динамической моделью в том смысле, что в ней присутствует время — когда проигрывается серия вариантов развития исследуемого объекта. С другой стороны, имитационная модель, как правило, является адаптивной моделью, ибо совершенствуется, уточняется в процессе использования. Она может быть детерминированной, но чаще – вероятностной (т.е. содержащей стохастические элементы); часто она содержит наряду с машинными также блоки, где решения принимаются человеком.

4) модель равновесия – оптимум изучаемого объекта определяется путем согласования или уравновешивания интересов всех компонентов системы. Класс плановых моделей, реализующих композиционный подход. Соответственно, в таких моделях участники экономической системы рассматриваются как самостоятельно принимающие решения единицы, а оптимум всей системы находится путем согласования («уравновешивания») их интересов. Иными словами, здесь оптимальное состояние системы приравнивается к ее равновесию.

5) оптимальная модель – это экономико-математическая модель, которая охватывает некоторое число вариантов (технологических способов) производства, распределения или потребления и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден лучший из них, т.е. способствует выбору таких значений переменных, позволяющих получению оптимального результата.

В отличие от дескриптивной (описательной, балансовой) модели оптимальная модель содержит наряду с уравнениями, описывающими взаимосвязи между переменными, также критерий для выбора — функционал (или, что то же, целевую функцию).

Оптимальная модель — основной инструмент экономико-математических методов. Обычно они очень сложны, насчитывают сотни и тысячи уравнений и переменных. Но общая структура таких моделей проста. Она состоит из целевой функции, способной принимать значения (на множестве значений переменных) в пределах области, ограниченной условиями задачи (области допустимых решений), и ограничений, характеризующих эти условия. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь состоит из трех элементов:

· управляемые переменные;

· параметры (или также переменные), которые не поддаются управлению (например, зависящие от внешней среды);

· формы зависимости между ними (формы функции).

 

III. По способу логико-математического описания:

1) аналитическая модель – формула, представляющая математические зависимости в экономике и показывающая, что результаты (выходы) находятся в функциональной зависимости от затрат (входов). В самом общем виде ее можно записать так:

U = f(x),

где x — совокупность (вектор) выходов;

f — зависимость, которая записана в виде математической функции.

 

2) вероятностная (стохастическая) модель – это модель, которая содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значений, на ее выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

3) детерминированная модель – это аналитическое представление закономерности, операции и т.п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упрощением), так и детерминированную систему.

4) дискретная модель – это экономико-математическая модель, все переменные и параметры которой являются дискретными величинами. Может отображать как дискретные системы, так и непрерывные системы, которые для этого приводятся к дискретному виду с помощью представления непрерывных величин в качестве дискретных (путем введения разного рода шкал, балльных оценок и т.п.).

Дискретность – прерывность (например, изменение экономических показателей во времени всегда имеет прерывный характер, поскольку происходит скачками: от одной даты (года, месяца и т.д.) к другой. Понятие дискретности противопоставляется понятию непрерывности.

5) матричная модель – это математическая модель, представленная в форме таблицы, матрицы.

6) линейная модель – это модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней принимаются линейными. Соответственно она может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных уравнений.

7) нелинейная модель – это экономико-математическая модель, отображающая состояние или функционирование системы (нелинейной системы, стохастической системы) таким образом, что все или некоторые взаимосвязи в ней принимаются нелинейными, т.е. не удовлетворяющими условиям линейности. Основная область применения нелинейных моделей — нелинейное программирование.

8) непрерывная модель;

9) регрессионная модель – это экономико-статистическая модель, основанная на уравнении регрессии, или системе регрессионных уравнений, связывающих величины экзогенных (входных, «объясняющих») и эндогенных (выходных) переменных.

(U = А + А^Х0 + А^Х1 + А^Х2)

10) сетевая модель – отражает взаимосвязь работ во времени.

IV. По временному признаку:

1) динамическая (трендовая) модель – теоретическая конструкция (модель), описывающая изменение (динамику) состояний объекта.

Динамические модели, описывают экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

Существуют два принципиально различных подхода к построению таких моделей:

Первый подход — оптимизационный. Он состоит в выборе из числа возможных траекторий (путей) экономического развития оптимальной траектории (например, обеспечивающей наибольший объем фонда потребления за плановый период).

Второй подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе. В этом случае, переходя к экономической динамике, используют понятие «равновесная траектория» (т.е. уравновешенный, сбалансированный экономический рост), которая представляет собой результат взаимодействия множества ячеек экономической системы.

Равновесный сбалансированный рост (steady – state growth) — понятие теории экономического роста, не имеющее пока единого определения. По мнению ряда ученых, это такой рост экономики, при котором темп прироста запасов всех продуктов на протяжении рассматриваемого промежутка времени постоянный. При этом они разграничивают понятия сбалансированного роста без равновесия, т.е. с избыточными запасами, и собственно равновесного роста.

В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений:

· начальное состояние экономики;

· технологические способы производства (каждый «способ» говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y);

· критерия оптимальности (при первом из названных подходов).

 

 

Используемые в реальной практике динамические модели экономики временные ряды содержат три элемента:

1) тренд, сезонные переменные (сезонные колебания);

2) случайная переменная (остаток);

3) циклическая составляющая.

В качестве экзогенных величин могут выступать, например, выявленные статистическим путем макроэкономические зависимости, сведения о демографических процессах и т.п.; в качестве эндогенных величин — темпы роста, показатели экономической эффективности и др.

Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей экономики решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрели динамическая модель фон Неймана и так называемые теоремы о магистралях.

Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики

2) статическая (структурная) модель – это экономико-математическая модель, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такими моделями могут описываться статические системы, но также и динамические системы — путем характеристики их состояния в заданный момент.