Ранг матрицы.

 

Элементарными преобразованиями матриц являются:

 

1. Перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы.

2. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля.

3. Прибавление ко все элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольное число.

 

Определение. Две матрицы и называются эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью элементарных преобразований.

Обозначается .

 

Например, .

 

Определение. Матрица называется ступенчатой, если:

 

1. Все нулевые строки (если они есть) стоят последними;

2. Для всех ненулевых строк: первый слева ненулевой элемент находится правее первого слева ненулевого элемента предыдущей строки.

 

Например, - ступенчатая матрица;

- не ступенчатая матрица.

Привести матрицу к ступенчатому виду – это значит найти эквивалентную ей ступенчатую матрицу.

Любую матрицу путем элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду.

Например, приведем матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований:

 

- ступенчатая матрица.

 

Определение. Минором -го порядка матрицы называется определитель, составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов.

 

Например, у матрицы можно указать такие миноры:

1-го порядка: , ; 2-го порядка: , .

 

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее отличных от нуля миноров. Обозначается или .

 

Определение. Базисным минором матрицы называется любой из отличных от нуля миноров этой матрицы, порядок которого равен .

 

Например, . Так как и нет миноров 3-го порядка, то . В качестве базисного минора можно взять минор .

 

Отметим свойства ранга матрицы:

 

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. При удалении (добавлении) из матрицы нулевой строки (столбца) ее ранг не изменится.

3. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменится.

 

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

 

На этом основан один из способов вычисления ранга произвольной матрицы, так как ее можно привести к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований.

Например, найти ранг матрицы .

Приведем матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований:

 

.

 

Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Так как элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, ранг исходной матрицы тоже равен 2, т.е. .

 

Контрольные вопросы:

 

1. Сформулируйте определение обратной матрицы к матрице .

2. Как обозначается обратная матрица к матрице ?

3. Сформулируйте теорему о существовании обратной матрицы.

4. Из каких этапов состоит нахождение обратной матрицы?

5. Какие преобразования называются элементарными преобразованиями над матрицами?

6. Какие две матрицы называются эквивалентными? Как это обозначается?

7. Какая матрица называется ступенчатой?

8. Сформулируйте определение минора -го порядка матрицы .

9. Сформулируйте определение ранга матрицы . Как обозначается ранг матрицы?

10. Какими свойствами обладает ранг матрицы?

11. Сформулируйте определение базисного минора матрицы .

12. Чему равен ранг ступенчатой матрицы?

13. Какой существует способ нахождения ранга матрицы?