Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений относительно n неизвестных

Метод Гаусса — точный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений) состоит в том, что совместную систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (определитель матрицы системы отличен от нуля)

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными преобразованиями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

 

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась диагональная матрица

В результате получаем решение системы:

Опишем метод Гаусса последовательно.

Прямой ход

Рассмотрим расширенную матрицу системы

1-й шаг

Предположим, что a11 не равен 0.

Если это не так, и a11 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a11 не был равен 0. Это всегда возможно, т.к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна.

Элемент a11 (не равный 0) называется ведущим элементом.

Итак, a11 не равно 0.

Умножим первую строку на число и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на число и прибавим к третьей строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i-й строке, для i=2, 3, …, n.

Получим на первом шаге:

 

2-й шаг

Предположим, что a(1)22 не равен 0.

Если это не так, и a(1)22 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a(1)22 не был равен 0.

Здесь ведущий элемент a22 (е равный 0).

Умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на число и прибавим к четвертой строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем вторую строку на число и прибавляем к i-й строке, для i=3, 4, …, n.

Получим на втором шаге:

k-й шаг

Предположим, что a(k-1)kk не равен 0.

Если это не так, и a(k-1)kk = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a(k-1)kk не был равен 0.

Ведущий элемент a(k-1)kk) не равный 0).

Умножим k-ю строку на число и прибавим к i-й строке, для i=k+1, k+2, …, n.

Выполнив n-1 шаг получим:

Прямой ход закончен. Заметим, что все элементы на главной диагонали отличны от нуля.

Обратный ход

1-й шаг.

Умножим последнюю строку на число и прибавим к предпоследней строке, затем умножим последнюю строку на число и прибавим к (n-2)-й строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем последнюю строку на число и прибавляем к (n-i)-й строке, для i=1, 3, …, n-1.

Получим на первом шаге:

k-й шаг

Умножим k-ю строку на число и прибавим к i-й строке, для i=k-1, k-2, …, n-1.

Выполнив n-1 шаг получим:

Обратный ход закончен. Решение вычисляем по формулам:

 




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | 

Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 150. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия