Свойства линейных операторов из L(V,V).

1) λ(AB)=(λA)B

2) (A+B)C=AC+BC

3) A(B+C)=AB+AC

4) (AB)C=A(BC)

Первое из свойств следует из определения произведения линейного оператора на скаляр ((λA)x=λ(Ax)) и определения произведения операторов ((AB)x=A(Bx)).

Второе свойство: имеем согласно (A+B)x=Ax+Bx, (λA)x=λ(Ax) и (AB)x=A(Bx)

((A+B)C)x=(A+B)(Cx)=A(Cx)+B(Cx)=(AC)x+(BC)x=(AC+BC)x. Сравнивая левую и правую части последних соотношений, получаем равенство (A+B)C=AC+BC.

Совершенно аналогично доказывается свойство 3.

Свойство 4 справедливо, поскольку, согласно определению (AB)x=A(Bx) произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (AB)C и A(BC) совпадают и, следовательно, тождественны.

Определение. Линейный оператор B из L(V,V) называется обратным для оператора A из L(V,V), если выполняется соотношение AB=BA=I (Обозначение A^-1).

Линейный оператор действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x₁ и x₂ отвечают различные элементы y₁=Ax₁ и y₂=Ax₂. Если оператор A действует взаимно однозначно из V в V, то отображение A: V→V представляет собой отображение V на V, то есть каждый элемент yєV представляет собой образ некоторого элемента xєV.

Теорема. Для того чтобы линейный оператор A из L(V,V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действует взаимно однозначно из V в V.