Оценки случайных погрешностей

Из-за влияния многочисленных и принципиально неустранимых факторов, обусловливающих случайные погрешности, результат каж­дого измерения будет отличаться от истинного значения изме­ряемой величины:

.

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного изме­рения.

Истинное значение X нам неизвестно. Однако, проведя большое количество измерений исследуемой величины X, можно выявить сле­дующие статистические закономерности:

1. Если проводить серию измерений исследуемой величины и оп­ределить среднее значение, то положительные и отрицательные откло­нения отдельных результатов измерений от среднего значения имеют приблизительно равную вероятность. Это является причиной того, что имеется равная вероятность (частота) отклонения результатов измере­ний от истинного значения величины в сторону уменьшения и увеличе­ния, в том случае, когда систематическая погрешность равна нулю. Среднее арифметическое значение, вычисленное на основании ряда измерений, является наиболее достоверным значением, которое можно приписать измеряемой величине. При вычислении среднего арифмети­ческого большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются

2. Вероятность (частота) появления больших отклонений от полу­ченного результата значительно меньше вероятности (частоты) появ­ления малых отклонений. Эти статистические закономерности справед­ливы лишь при многократном повторении измерений. После обработ­ки результатов измерений, получается не абсолютно достоверный, а наиболее вероятный результат и этим результатом будет среднее ариф­метическое значение ряда измерений

,

где n — число измерений.

Для определения случайной погрешности необхо­димо знать истинное значение измеряемой величины, которое неизвест­но.

Однако среднее арифметическое является наиболее достоверным значением, которое можно приписать измеряемой величине. Поэтому можно использовать среднее арифметическое в качестве ее оценки.

Величину называют средним квадратическим отклонением случайной погрешности измерения и определяют из соотношения:

 

где — численный результат отдельного измерения, n — число изме­рений.

Для получения представления о случайном разбро­се среднего арифметического относительно точного значения X измеря­емой величины нужно вычислить среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического. Доказано, что это отклонение в раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения, т. е.

 

 

где — средняя квадратическая погрешность среднего арифмети­ческого из ряда измерений; — средняя квадратическая погрешность отдельного измерения; — число измерений в серии.

Из данного вы­ражения видно, что увеличение числа повторных измерений приво­дит к уменьшению средней квадратической погрешности результата измерений.