МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

 

Волна распространяется в направлении линии АВ по по-верхности жидкости плотностью и с поверхностным на-тяжением (для воды , ). Линия АQВ – это уровень спокойной поверхности воды, – высота точки Р волновой поверхности над линией АВ.

Если в процессе распространения волны точка Р под-нимается на бесконечно малую высоту , то малый элемент поверхности , включающий точку Р, будет двигаться вверх против действия силы, равной

 

 

где – модуль радиуса кривизны вертикального сечения вол-ны в точке Р.

Работа, совершаемая при подъеме элемента поверхности в произвольной точке Р, равна:

 

, (10.6)

 

где – угол между вертикалью и радиусом кривизны вер-тикального сечения волны в точке Р.

Можно считать, что жидкость, необходимая для напол-нения освободившегося при перемещении элемента поверх-ности пространства, берется с уровня АQВ. Тогда работа, совершаемая против силы тяжести, равна . Вся совершаемая при перемещении элемента поверхности работа, т.е. полное приращение потенциальной энергии, равна:

 

. (10.7)

 

Множитель может быть вычислен из следующих сооб-ражений. Запишем уравнение бегущей волны в виде:

 

 

, (10.8)

 

где – текущее время;

– координата вдоль оси АВ.

Если зафиксировать положение волны в какой-то момент времени , то получим кривую, изображенную на рис. 10.1. Кривизну в любой точке можно вычислить по известному из курса высшей математики соотношению:

 

(10.9)

 

В рассматриваемом случае малых амплитуд вто-рой член в квадратных скобках можно опустить.

Следовательно,

 

(10.10)

 

Подставляя значение крутизны (10.10) в соотношение (10.7), получим:

 

(10.11)

 

Из соотношения (10.11) видно, что поверхностное натяже-
ние как бы увеличивает ускорение силы тяжести на величину .

Учитывая это, можно видоизменить соотношение (10.5) для скорости волны применительно к общему случаю с уче-том как силы тяжести, так и поверхностного натяжения:

 

. (10.12)

 

Выражение под знаком корня есть сумма двух слагае-мых, изменяющихся в противоположном направлении при изменении длины волны. Значение длины волны, соответ-ствующее минимальной скорости, разграничивает область волн, обусловленных действием силы тяжести (гравитаци-онных), от области так называемых капиллярных волн, в образовании которых основную роль играет поверхностное натяжение жидкости. Для чисто капиллярных волн

 

,

 

и скорость

 

. (10.13)

 

В общем случае из (10.12) можно получить выражение коэффициента поверхностного натяжения, выражая ско-рость через частоту колебаний (частота колебаний виб-ратора) и длину волны , определяемую экспериментально. Так как , то

 

(10.14)

 

Соотношение (10.14) используется при определении ко-эффициента поверхностного натяжения жидкости волновым методом.

Поверхностные волны в общем случае (10.12) обладают дисперсией скорости. На реках или водоемах это проявля-ется в том, что при прохождении какого-либо судна на бе-регу вначале слышны редкие, а потом все более частые затухающие всплески. Это объясняется тем, что длинные вол-ны имеют бóльшую скорость. Выше мы определяли фазовую скорость поверхностных волн. Реальное движение происхо-дит с групповой скоростью, которая превышает фазовую (10.12) для длин волн меньших длины волны, соответствующей ми-нимальной фазовой скорости, и меньше нее в противопо-ложном случае.

В тех случаях, когда , где – глубина водоема (приливные волны):

 

(10.15)

 

Это единственный вид поверхностных волн, не обладаю-щих дисперсией.

Поверхностные волны обладают всеми свойствами, при-сущими всем остальным видам волновых процессов. Так, при одновременном распространении нескольких волн ко-лебания частиц оказываются геометрической суммой коле-баний, которые совершали бы частицы при распростра-нении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны накладываются друг на друга, не возмущая одна другую (принцип суперпозиции).

Если колебания, обусловленные волнами, возбужден-ными различными источниками, когерентны, т.е. обладают постоянной разностью фаз в каждой точке среды, при их сложении наблюдается явление интерференции. Интерфе-ренция проявляется в том, что в одних местах волны уси-ливают, а в других ослабляют друг друга.

В данной работе явление интерференции наблюдается при сложении волн, источниками которых являются отверс-тия в непроницаемом экране, установленном в воде на пути распространения первичных поверхностных волн, возбужда-емых вибратором. При этом на экране диаскопа лаборатор-ной установки в местах увеличения амплитуды волновые поверхности имеют меньшую освещенность, а в местах ос-лабления амплитуды – бóльшую освещенность.

Расчет амплитуды колебаний после прохождения через отверстия связан со сложными математическими операци-ями, что затрудняет восприятие происходящих физических явлений. В связи с этим ниже дифракция и интерференция волн рассматриваются упрощенно, однако с сохранением основных качественных особенностей рассматриваемых процессов.

При прохождении волн через одно отверстие в непрони-цаемом экране дифракционная картина имеет вид, изобра-женный на рис. 10.2, а, и качественно может быть объяснена с помощью принципа Гюйгенса. При квазимонохромати-ческом характере колебаний их частота после прохождения через отверстие остается неизменной, а интенсивность су-щественно снижается. При размерах отверстия, сопоста-вимых с длиной волны колебаний, первый волновой фронт (например, максимум амплитуды) сформируется на удале-ниях порядка от центра отверстия, а радиусы после-дующих аналогичных волновых фронтов будут последова-тельно увеличиваться на величину . Форма волнового фронта вблизи отверстия близка к полуокружности.

При прохождении поверхностных волн через два отверс-тия, расстояние между которыми сопоставимо с их размера-ми, наблюдается интерференция волн, которая проявляется в искривлении волновых поверхностей (рис. 10.2, б) на не-больших удалениях от экрана.

При прохождении поверхностных волн через отверс-тий интерференционная картина будет иметь вид, приве-денный на рис. 10.2, в. Сущность процесса формирования волнового фронта в этом случае практически та же, что и при сложении волн в случае двух отверстий.