Принцип суперпозиции. Групповая скорость.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем d w << w и d k<<k. Тогда

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что t d w —x d k = const, получим

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Данное выражение получено для волнового пакета из двух составля­ющих, однако можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае.

Рассмотрим связь между групповой и фазовой v=w /k скоростями. Учитывая, что k= 2 p/l получим

Из формулы вытекает, что u может быть как меньше, так и больше v в зависи­мости от знака d v/ d l. В недиспергирующей среде d v/ d l= 0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость u << с, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.