ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17. 1. Грабовский Р.И. Курс физики

1. Грабовский Р.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1980.

2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. М.: Наука, 1972-74, т. 1.

3. Детлаф А.А. и др. Курс физики. М.: Высшая школа, 1973-79, т. 1.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Оборудование: математический маятник, набор шариков, секундомер, штангенциркуль.

Краткая теория

Колебательным движением называется процесс, при котором тело (в общем случае система), многократно выведенное из положения равновесия, каждый раз возвращается к нему. Среди разнообразных колебаний основную и существенную роль играют так называемые гармонические колебания, т.е. колебания упорядоченные (от слова гармония), совершающиеся по закону – обычно по закону синуса (или косинуса).

Простейшей гармонической колебательной системой является математический маятник. Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением является небольшой шарик массы m, подвешенный в точке О на нити l (рис.1)

 

Рис 1.

В положении равновесия на шарик действуют две силы – сила тяжести и сила натяжения нити , равные по величине и направленные в противоположные стороны.

Отклоним маятник от положения равновесия на небольшой угол a и предоставим его самому себе: маятник начинает колебаться в вертикальной плоскости под действием составляющей силы тяжести. Рассмотрим более подробно процесс колебания математического маятника. Для этого разложим силу тяжести на две составляющие: нормальную (вдоль нити) и тангенциальную (перпендикулярно нити). Сила натяжения нити и нормальная составляющая силы тяжести сообщают маятнику так называемое нормальное, или центростремительное ускорение а _n, направленное к центру дуги окружности – траектории маятника. Работа этих сил равна нулю, так как они направлены перпендикулярно траектории и поэтому не изменяют скорость маятника по величине. Их действие приводит лишь к тому, что вектор скорости непрерывно меняет направление, так что в любой момент времени скорость всегда направлена по касательной к дуге окружности.

Тангенциальная составляющая силы тяжести создает так называемое тангенциальное ускорение а _t, характеризующее изменение скорости по величине. Под действием составляющей маятник начинает двигаться по дуге окружности с нарастающей скоростью. По мере движения маятника тангенциальная составляющая силы тяжести, маятник проходит через положение равновесия, она становится равной нулю. Вследствие своей инертности маятник движется дальше, поднимаясь вверх. При этом составляющая уже будет направлена против скорости. Поэтому скорость маятника уменьшается, и тем быстрее, чем больше угол между нитью и вертикалью. В момент остановки маятника в верхней точке его тангенциальное ускорение максимально и направлено в сторону положения равновесия. Далее скорость маятника увеличивается, и он снова движется к положению равновесия. Пройдя его, он возвращается в исходное положение, если только сила сопротивления мала и ее работой в течение небольшого интервала времени можно пренебречь.

Опишем теперь количественно процесс колебания математического маятника. При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l. Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется одной величиной – углом a отклонения нити от вертикали, или, что то же самое, смещение x (см. рис. 1.). Из рис. 1. видно, что сила

Р _t= - Р × sin a (1)

Здесь знак минус стоит потому, что сила, вызывающая колебательное движение, направлена в сторону уменьшения угла a.

Если угол отклонения мал (менее 10⁰), то синус можно заменить самим углом a (если угол измеряется в радианах), тогда

Р = - Рa = - mga, (2)

т. е. сила, возвращаемая маятник в положение равновесия при малом угле a, пропорциональна упругой силе.

Запишем теперь уравнение движения шарика, т. е. второй закон Ньютона, применительно к нашей задаче. Очевидно, что

Р _t= ma _t

или

ma _t= - mga

следовательно,

a _t = - ga (3)

 

Как известно, тангенциальное ускорение равно

,

а смещение х (при малых углах отклонения шарика) можно считать дугой окружности радиуса l, соответствующей центральному углу a. Поэтому

х = al

C учетом этого выражения (3) запишется в виде:

(4)

Это есть дифференциальное уравнение колебательного движения математического маятника. Решить это уравнение – значит определить, как (по какому закону) изменяется положение шарика в пространстве с течением времени.

Так как ускорение свободного падения g есть величина постоянная для данного места на земном шаре, то обозначим отношение двух постоянных величин через w ². Тогда уравнение (4) перепишется следующим образом:

(5)

Решением дифференциального уравнения (5) является выражение

х = А cos (wt + j), (6)

что проверяется подстановкой х и в уравнение (5).

Таким образом, смещение х является периодической функцией времени t (рис. 2). В уравнении (6) величина А есть максимальное смещение шарика от положения равновесия, которая называется амплитудой гармонического колебания. Величина (wt+j­₀) называется фазой колебания и определяет смещение шарика в любой момент времени. Величина j₀ есть начальная фаза колебания, т.е. она определяет положение колеблющейся точки (шарика) в начальный момент времени (рис. 2 начерчен для случая j₀ 0).

Рис 2.

 

При гармонических колебаниях через определенный промежуток времени Т положение шарика полностью повторяется. Этот промежуток времени называется периодом колебания математического маятника (см. рис. 2). Величина , обратная периоду колебания, называется частотой колебаний, которая показывает число колебаний в единицу времени. Единица измерения частоты называется герцем (Гц).

Выясним физический смысл величины w. Через промежуток времени, равный периоду колебаний Т, т. е. при увеличении аргумента косинуса на w Т, движение повторяется и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2p. Следовательно,

откуда

, (7)

Таким образом, величина w показывает число колебаний шарика за 2p секунды и называется циклической или круговой частотой.

Исходя из соотношений и , получим формулу для периода колебаний математического маятника:

. (8)

Как следует из уравнения (8), период колебаний математического маятника при малых углах отклонения не зависит от амплитуды колебания. При больших углах отклонения это уравнение не будет справедливо. В этом случае движение маятника будет периодическим, но негармоническим и период колебания будет зависеть от угла отклонения a:

. (9)

Период колебания определяется при помощи секундомера и его время рассчитывается из 20 – 50 полных колебаний n (по указанию преподавателя) по формуле

, где t – время n полных колебаний математического маятника (10)

Выполнение работы

А. Проверка зависимости периода колебаний математического маятника от его длины.

1. Для трех – четырех разных длин l ₁ , l ₂, l ₃, … (они должны отличатся на 20 см, но быть не менее 80 см) измерять время t ₁, t ₂, t ₃, … некоторого количества полных колебаний (например N = 20 колебаний).

2. Вычислить периоды этих колебаний по формуле: ,

3. Данные измерений и вычислений занести в таблице:

Таблица 1

N	l = 80 см	l = 100 см	l = 120 см	l = 140 см
t 1	T 1	t 2	T 2	t 3	T 3	t 4	Т 4

 

4. Сравнить следующие отношение:

с ; с ; с .

5. Занести результаты в таблицу:

Таблица 2

Б. Определение ускорения свободного падения «g».

Если нить l будет значительно превышать диаметр шарика, то ускорение свободного падения «g» можно вычислить по формуле:

(_*)

1. Для трех – четырех разных длин маятника вычислить ускорения «g» по формуле (_*).

2. Данные измерений и вычислений занести в таблице:

Таблица 3

№ n/n	l (м)	t (c)	Nколеб.	T (c)	gi (м/с2)	Dgi	(Dgi)2
	0,80
	1,00
	1,20
	1,40
							å(Dgi)2

 

3. Сделать математическую обработку полученных значений «g».

; , где a - коэффициент Стьюдента

 

 

с точностью e %

 

 

Контрольные вопросы

1. Какой колебательный процесс называется гармоническим и каково его аналитическое и графическое представление?

2. Перечислите характеристики гармонического колебания и определите их физический смысл.

3. Покажите, что уравнение (6) является решением дифференциального уравнения (4).

4. Найдите, по какому закону изменяется скорость шарика с течением времени.

5. Сформулируйте законы колебаний математического маятника на основании выводов, сделанных из работы.

6. От каких величин зависит ускорение свободного падения?

7. Для каких целей используются маятники?

 

Литература

1. Грабовский Р. И. Курс физики. М., 1980. 607 с.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики. М.,1973, Т. 1. 384 с.

3. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц С. М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., 1965.

4. Савельев И. В. Курс общей физики. М., 1982, Т. 1.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17