Центрально-симетричне поле

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1861

Силове поле називають центральним, якщо в усіх його точках сили, що діють на тіла, внесені у це поле, напрямлені вздовж прямих, які перетинаються у певній точці – центрі сил. Центральне поле називається сферично - (центрально -) симетричним, якщо числове значення сили, що діє на тіло, залежить тільки від відстані r від центра сил.

Силові поля, що характеризують гравітаційну взаємодію точкових мас або електростатичну взаємодію точкових зарядів, є центрально- симетричними. Це видно із запису законів Ньютона для гравітаційної сили та закону Кулона для взаємодії точкових зарядів:

(4.13)

(4.14)

Нагадаємо, що – гравітаційна стала; M і m – маси матеріальних точок; r – відстань між взаємодіючими тілами; k– електрична стала, залежна від вибору системи одиниць; Q і q– величина точкових зарядів.

Запис виразів (4.13) і (4.14) у векторній формі дає змогу стверджувати, що сила взаємодії паралельна чи антипаралельна (в залежності від притягання чи відштовхування тіл), тобто лежить на прямій проведеній з центра до точки спостереження.

У полі гравітаційних сил і антипаралельні (має місце притягання):

(4.15)

Покажемо, що центрально-симетричне поле консервативне і знайдемо потенціальну енергію тіла в цьому полі.

Розглянемо взаємодію двох матеріальних точок масами та . Нехай , початок координат співпадає з точкою маси , а координата точки задається радіус-вектором . Вважаємо, що між тілами діють лише сили гравітаційного притягання і тіло масою переміщується в полі закріпленого тіла масою з точки в точку з координатою уздовж довільної траєкторії.

Для визначення роботи, виконаної полем під час переміщення тіла масою з точки у точку на відрізку шляху настільки короткому, що відрізок ламаної лінії співпадає з реальним відрізком траєкторії, використаємо вираз (4.1):

Оскільки сила однозначно задається координатою тіла і в будь-якій точці траєкторії ця сила напрямлена до точки , зручніше знайти .

З рисунка 13 видно[2], що – зміні відстані тіла від центра під час переміщення на відрізку . Таким чином:

(4.16)

Повна робота, виконана полем під час переміщення тіла з точки з координатою в точку , дорівнює:

(4.17)

З виразу (4.17) видно, що величина роботи не залежить від вигляду траєкторії, а визначається лише величинами, що характеризують кінцеву і початкову точки траєкторії.

Таким чином, робота дорівнює зміні потенціальної енергії тіла . Вище згадувалось, що потенціальна енергія визначається з точністю до певної сталої. Уникнути даної невизначеності можна, врахувавши наступне. Сила взаємодії тіл за умови прямує до нуля. Логічно припустити, що при , а тому з виразу (4.17) можна вважати, що

(4.18)

Величина у виразі (4.18) негативна. Пояснення цьому достатньо просте. Оскільки при , тіло звільняється від дії сил притягання і стає вільним. Тому ця енергія найбільша, бо досягнення даного стану можливе лише за рахунок подолання всіх сил взаємного притягання між тілами. Тобто, за скінченних потенціальна енергія повинна бути меншою від нуля (тіло перебуває у зв’язаному стані).

Відзначимо також, що є одночасно і потенціальною енергією тіла масою у гравітаційному полі, створеному тілом масою .