Комплексні числа та їх використання під час розгляду коливних і хвильових процесів

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 856

Положення точки на площині задаємо комплексним числом

(9.15)

– модуль комплексного числа,

Якщо використати формулу Ейлера:

, (9. 16)

то

Нехай – радіус-вектор матеріальної точки, що обертається по колу з кутовою швидкістю , тоді

,

де початкова фаза руху.

Якщо взяти дійсну частину виразу, то отримаємо рівняння гармонійних коливань вздовж осі :

(9.17)

Для опису коливань вздовж осі шукаємо уявну частину виразу

(9.18)

Вирази типу (9.17), (9.18) зручно використовувати для опису коливних та хвильових процесів. Зокрема, вираз:

(9.19)

є рівнянням гармонійного коливання, а вираз

(9.20)

є рівнянням плоскої хвилі.

Використання комплексних чисел для опису коливних та хвильових процесів дає змогу у ряді задач спростити і скоротити розрахунки. Покажемо це на прикладі вимушених коливань.

Виходимо із рівняння руху (7.50) для вимушених коливань, в якому вираз для вимушуючої сили замінимо виразом :

(9.21)

Розв’язок рівняння для встановлених коливань шукаємо у вигляді

, (9.22)

де – деяка стаціонарна незалежна від часу амплітуда у вигляді комплексного числа. Підстановка виразу (9.22) у рівняння (9.21) дає наступний результат:

.

Скоротивши вираз на для отримаємо:

(9.23)

Перетворимо знаменник у виразі (9.23), використавши формулу Ейлера, до вигляду:

,

де , тому .

Кінцево розв’язок рівняння (9. 21) набуває вигляду:

(9.24)

З (9.24) видно, що вимушене коливання за фазою відстає від вимушуючої сили на кут . Отриманий результат ідентичний виразу (7.53).

[1] Доведемо, що .

Згідно з третім законом Ньютона , а тому для доведення записаної вище рівності достатньо показати, що . Запишемо , де –вектор, що з’єднує точки та , тоді:

, бо , внаслідок колінеарності векторів та .

[2] Дане твердження випливає з того, що кут малий (), а тому і трикутник AOC рівнобедрений з рівними сторонами .

[3] Відзначимо, що середні значення функції та за період рівні 1/2: .

[4]

[5] Адіабатичний процес – процес, що відбувається без обміну теплом із зовнішнім середовищем. Ідеальних адіабатичних процесів в природі немає. Адіабатичними процесами можуть вважатись лише швидкозмінні процеси (в даному випадку пружні деформації в хвилі).