Операции. Операциянад (на) множеством M это функция [7]:

Операция над (на) множеством M это функция [7]:

Из определения операции видно, что она замкнута на множестве М, т.е. результат операции не выходит за пределы этого множества.

Еще одно свойство операции – однозначность результата, т.е.

упорядоченный набор n элементов (операндов) дает в результате операции только один элемент.

Порядок операции – это количество ее операндов: n = 1 соответствует унарной (монадической) операции, n = 2 – бинарной (диаедической) операции и т.д.

Далее рассматриваются только бинарные операции. Они могут быть заданы в одной из трех форм:

infix (например, x + y);

prefix (+xy);

postfix (xy+).

Последние две формы дают бесскобочную запись (скобки вводятся, в инфиксной форме, для явного указания порядка выполнения операций).

Пример.

Инфиксная (обычная) форма:

a + b * c – (d – e / f).

Префиксная форма (проход и запись выражения справа налево):

+ a – * bc – d / e f.

Постфиксная форма (проход и запись слева направо), по-другому – это обратная (инверсная) польская запись (по имени польского математика Я. Лукасевича):

a b c * + d e f / – –.

Последняя форма (ОПЗ) широко используется в вычислительной технике, в частности при построении так называемых прямых трансляторов с языков программирования (используется стек с приоритетами).

Бинарная операция удобно задается таблицей (табл. 1).

Таблица 1

Операция на множестве M={a, b, c}

Ä	a	b	c
a	a	a	b
b	b	a	c
c	a	b	b

 

В дальнейшем будем говорить о некоторых замечательных свойствах операций, связывая эти свойства с фиксированными номерами (1, 2, …).