Булеан бесконечного множества. Выводы

Мы показали, что несчетные множества имеют мощность большую, чем счетные. А существуют ли множества наибольшей мощности? На этот вопрос отвечает теорема, на основании которой мы можем утверждать, что не существует множества наибольшей мощности: для каждого множества X мы можем построить его булеан, т.е. множество большей мощности. Это означает, что ряд мощностей (рис. 1.25) неограничен.

Теорема. Пусть X – бесконечное множество. Мощность булеана множества X больше мощности множества X.

Доказательство. Очевидно, что мощность булеана B (X) не меньше мощности множества X: булеан имеет подмножество одноэлементных множеств, равномощное множеству X. Остается показать, что .

Предположим противное: пусть . Это означает, что существует биекция , т.е. каждый элемент x множества X имеет единственный прообраз , а каждый элемент булеана имеет единственный прообраз во множестве X. Рассмотрим множество . Покажем, что множество хотя и принадлежит булеану , но не имеет прообраза во множестве X.

Действительно, пусть такой элемент существует, т.е. . Тогда возможны два варианта: а) , б) .

Случай а) невозможен, т.к. и выполняется , следовательно, . Аналогично невозможен и случай б): , значит, , но . Полученное противоречие показывает, что не существует элемента , являющегося прообразом множества .

Следовательно, предположение о равномощности множеств X и неверно и остается принять .

Итак, используя понятие “мощность”, мы сравниваем между собой не только конечные, но и бесконечные множества. Мощность – это то общее, что есть у всех равномощных множеств, а общим у них является класс эквивалентности. Мы говорим, что множество имеет мощность À ₀, и это означает, что оно принадлежит тому же классу эквивалентности, что и множество натуральных чисел; мы говорим, что множество имеет мощность континуума, и это означает, что оно принадлежит тому же классу, что и отрезок [0; 1] (табл. 1.5). Другие классы бесконечных множеств используются реже, чем счетные и несчетные.

Таблица 1.5

Мощность множества