Метод эквивалентного преобразования соединений пассивных элементов звездой и треугольником

Встречаются схемы со сложным соединением элементов, которые нельзя отнести ни к параллельном, ни к последовательному соединению. Рассмотрим одну из таких схем, когда часть ее образует треугольник, вершинами которого являются три узла, а сторонами- три пассивных ветви, включенные между этими узлами. Для упрощения расчета подобных схем во многих случаях бывает удобно заменить треугольник эквивалентной трехлучевой звездой.

Рассмотрим схему с двумя треугольниками резисторов и . При замене этих треугольников эквивалентными звездами с сопротивлениями резисторов лучей , , и , , схема упрощается и приводится к схеме смешанного соединения.

Определим уравнения, связывающие сопротивления эквивалентных резисторов треугольника и звезды.

Для этого воспользуемся общим условием эквивалентности, по которому токи в ветвях схемы, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения. Это означает, что токи, направленные к узлам , и по проводам схем треугольника и звезды, должны быть одинаковыми. Условие эквивалентности должно быть соблюдено во всех режимах, в том числе при обрыве одного из проводов, присоединенных к узлам , и .

 

Схема. Эквивалентные соединения резисторов треугольником (а) и звездой (б)

 

При обрыве провода, присоединенного к узлу а, напряжение между узлами и , а также токи проводов, присоединенных к этим узлам, должны быть одинаковыми в схемах треугольника и звезды. Следовательно, сопротивления между узлами и схем треугольника и звезды должны быть равны между собой. В схеме звезды ток по резистору не проходит. Поэтому между узлами и будет включен участок, состоящий из последовательно соединенных двух лучей звезды, общее сопротивление которых равно .

В схеме треугольника между узлами и имеются две параллельные ветви, в одну из которых включен резистор с сопротивлением , а в другую- два последовательно соединенных резистора с сопротивлениями и . Общее сопротивление этой цепи

.

 

По условию эквивалентности

.

Повторяя вышеприведенные рассуждения для случая, когда обрывается провод, присоединенный к узлу , а затем к узлу , получим еще два уравнения:

.