Математическое ожидание случайной величины и его свойстваРассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом: m1 - число подшипников с внешним диаметром х1, Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством
Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин. 1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной. 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:
* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2,..., xn,..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда
причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился. ** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину
, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .
Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x1, x2,..., xn соответственно с вероятностями p1, p2,..., pn. Очевидно, случайная величина принимает значения с теми же вероятностями p1, p2,..., pn. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем
Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению
Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим Следовательно, Откуда окончательно находим
1°. Дисперсия постоянной равна нулю. Доказательство. Пусть . По формуле (46) имеем так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная:
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
Так как и то
3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:
Доказательство. По формуле (46) имеем Но Так как и - независимые случайные величины, то Следовательно Далее, поэтому Таким образом Следовательно
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
Пример 1. Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение Решение: Используя формулы (39), (44) и (49) соответственно получим
Пример 2. Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию. Решение: Величина принимает два значения 0 и 1 соответственно с вероятностями q=1-p и p. Поэтому по формулам (39) и (44) находим
Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и Решение: Пусть - случайная величина, принимающая значения 1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит событие A в i -м опыте. Тогда . Ясно, что попарно независимы. Из результата примера 2 следует, что , для любого i. На основании свойства 3° для математического ожидания и дисперсии имеем
[См. формулу (17)]. Найти: Решение: Используя соотношение (39), получим
Пример 5. Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью
[См. формулу (27)]. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение cлучайной величины. Решение: По формулам (40), (45) и (49) находим
Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и (см. § 3, п.5). Найдем и Так как , то по формуле (40) находим Проведем в интеграле замену переменной, полагая тогда Следовательно, Но [См. формулу (29)]. Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций Следовательно, Дисперсию находим по формуле (45) (вычисление интеграла не приводим). Итак,
Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.
* Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.
|