Множественность и единство моделей

С одной стороны, реальная система может иметь несколько совершенно различных моделей, с другой стороны – одна и та же математическая конструкция может представлять различные системы.

Множественность объясняется, во первых, необходимостью исследования различных свойств системы. Во вторых – необходимостью решения различных задач исследования.

В качестве примера из квантовой физики. Нильс Бор в 1913 году построил графическую модель ядра водорода, которая предполагает наличие стационарных орбит движения электрона, и достаточно хорошо описывает свойства его поведения как частицы. Модель Шредингера (уравнение Шредингера) определяет вид волновой функции, то есть фактически описывает поведение электрона как волны. Это пример множественности моделей одного объекта для описания различных свойств (корпускулярные и волновые свойства элементарных частиц).

Единство моделей объясняется в первую очередь тем, что любая математическая конструкция может представлять собой модель различных систем.

Например, рассмотрим самую простую линейную зависимость

Это простейший вид функциональной зависимости – прямая пропорциональная зависимость переменной Y от переменной Х, к – коэффициент пропорциональности. Графически пропорциональная зависимость изображается прямой линией, проходящей через начало координат, угловой коэффициент которой равен коэффициенту пропорциональности.

α

0 Х1 Х

Y Y1

Рис. 2. Пропорциональная зависимость

Эта математическая формула может рассматриваться в качестве модели, например, усилителя напряжения или трансформатора.

N1

U1

N2

U2

Рис.3. Схема трансформатора

Трансформатор – устройство для повышения или понижения напряжения переменного тока (действие основано на явлении магнитной индукции).

Отношение абсолютных значений напряжений U2 и U1 на концах вторичной и первичной обмоток при холостом ходе называется коэффициентом трансформации - k. Формула для трансформатора такова

, или

Таким образом, формула пропорциональности есть модель процесса трансформации напряжения.

Эта та же формула может служить моделью и другой системы. Например, моделью рычага

L2 L1

F2

F1

Рис.4. Схема рычага

Рычаг описывается следующим соотношением

или

Если различные объекты имеют одинаковую модель, то возможно моделировать один объект другим.

2. Свойство конечности моделей.

Модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений. Любая модель имеет ограничения. Эти ограничения устанавливает разработчик в зависимости от целей исследования.

Формула не может описывать всех свойств системы. Формула должна быть адекватна только исследуемым свойствам объекта.

Например, если мы исследуем процесс трансформации напряжения в установленных нормативах, то представленная выше модель пропорциональной зависимости адекватна. А если нам необходимо исследовать процесс магнитной индукции, то мы не получим линейной зависимости на всем диапазоне изменения аргумента, поскольку существует эффект насыщения магнитного сердечника. А еще здесь присутствует гистерезис. Для исследования этих свойств нужна уже другая модель.

0 Х1 Х

Y Y1

Рис. 5. Эффекта гистерезиса.