Погрешности косвенных измерений

 

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c,..., полученные при прямых измерениях

 

z = f (a, b, c,...). (1.11)

 

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

 

(1.12)

при надежности a и относительную погрешность .

Что касается , то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо a, b, c,... их средних значений

 

. (1.13)

 

Абсолютная погрешность косвенных измерений является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений. Если величины a, b, c,... в функцию z = f (a, b, c,...) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т. е. если

(1.14)

 

(кроме случаев, когда показатель равен –1), то сначала удобно вычислить относительную погрешность

 

, (1.15)

 

а затем абсолютную

. (1.16)

 

Формулы для D z и e _z часто приводятся в справочной литературе.

Примечания.

1. При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить известные физические константы (ускорение свободного падения g, скорость света в вакууме с и т. д.), числа типа дробные множители 1/3, 1/6.... Эти величины при вычислениях округляются. При этом, естественно, в расчет вносится погрешность - погрешность округления при вычислениях, которая должна учитываться.

Принято считать, что погрешность округления приближенного числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было округлено. Например, p = 3, 14159.... Если взять p = 3, 1, то Dp = 0, 05, если p = 3, 14, то Dp = 0, 005... и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице указано r =13, 6 ·10³ кг/ м³, следовательно, Dr = 0, 05·10³ кг/м³.

Ошибки значений универсальных постоянных часто указываются вместе с их средними значениями: с = м/c, т.е. D с = 0, 3× 10³ м/c.

2. Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции z вычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляется через значения z так же, как при прямых измерениях (все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения z). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть), должны быть указаны при этом с достаточно большой точностью.

Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса (лабораторная работа № 2) при использовании нескольких шариков разного диаметра абсолютная погрешность будет (см. (1.4))

 

(1.17)

 

где i - номер опыта, n - число опытов.

В качестве итога всего, сказанного выше, приведем порядок обработки результатов измерений.