Постановка задачи

На каждой из двух торговых баз ассортиментный минимум составляет один и тот же набор из n видов товаров. Магазины, обозначим их А и В, конкурируют между собой. Один и тот же вид товара в обоих магазинах продается по одной и той же цене. Однако товар, поставляемый в магазин В, более высокого качества. Если магазин А завезет с базы товар, отличный от товара, завезенного в магазин В, то товар будет пользоваться спросом и магазин А от его реализации получит прибыль с_j денежных единиц. Если же в магазины А и В завезены товары одинакового вида, то товар в магазине А спросом пользоваться не будет, поскольку такой же товар, по такой же цене, но более высокого качества, можно купить в магазине В, и потому магазин А понесет убытки по хранению и возможно порче товара в размере d_i денежных единиц.

Требуется формализовать конфликтную ситуацию, построить матрицу игры и дать рекомендации по выбору оптимальной смешанной стратегии при следующих числовых данных:

n=4;

	Номер варианта
*
c1
c2					78, 3
c3
c4
d1					38, 5
d2
d3
d4

 

Порядок выполнения работы (на примере варианта*)

1. Представим данную ситуацию в виде матричной игры.

У руководства магазина А четыре стратегии: A_i - продавать товар i-ого вида (i=1, 4). Аналогично у руководства магазина В стратегии В_j - продавать товар j-ого вида (j=1, 4).

Платежная матрица данной игры примет вид:

 

	В1	В2	В3	В4
А1	-13
А2		-12
А3			-20
А4				-7

 

Определим, имеет ли игра оптимальное решение в чистых стратегиях. Для этого рассчитаем верхнюю и нижнюю чистые цены игры.

 

	В1	В2	В3	В4	a
А1	-13				-13
А2		-12			-12
А3			-20		-20
А4				-7	-7
b					-7

Итак,

Так как a ¹ b, то игра не имеет решения в чистых стратегиях.

2. Найдем решение игры в смешанных стратегиях.

2.1. Чтобы свести игру к паре двойственных задач линейного программирования, увеличим все элементы платежной матрицы на 20:

 

	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3
А4

 

Задача линейного программирования для игрока А:

2.2. Численное решение задачи.

Решив данную задачу средствами EXCEL, получаем:

x₁=0.016,

x₂=0.0073

x₄=0.0167

f_min=0, 04

Для определения смешанной стратегии, воспользуемся формулами:

Отсюда смешанная стратегия:

p=(0.4, 0.182, 0.418, 0)

V=5

2.4. Анализ полученных результатов.

Итак, оптимальной стратегией магазина А будет продажа товаров в следующей пропорции:

40% товара1; 18, 2% товара 2; 41, 8% товара 3;

Средняя прибыль составит 5 д.е.