Студопедия — Движение электрона в кулоновском поле
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Движение электрона в кулоновском поле






Одной из простейших задач атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра, имеющая большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода, но и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном (водородоподобных атомов), например атома натрия.

В атоме водорода электрон находится в кулоновском электростатическом поле ядра (протона), так что потенциальная энергия U(x, y, z) равна

, (22)

где r есть расстояние электрона от ядра, -заряд электрона, -заряд ядра.

Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид

. (23)

Задача состоит в отыскании таких значений Е, для которых уравнение (23) допускает решение, непрерывное во всем пространстве и удовлетворяющее условию нормировки

. (24)

Запишем уравнение (23) в сферической системе координат с началом в ядре, которое предполагается неподвижным:

(25)

и будем искать решение в виде

. (26)

Принимая во внимание дифференциальное уравнение для сферических функций :

получаем:

. (27)

Введем в качестве единицы длины величину

,

в качестве единицы энергии — величину

.

Полагая

, < 0. (28)

Перепишем уравнение (27) в виде

,

. (29)

С помощью подстановки

, (30)

,

,

,

,

,

уравнение (29) приводится к виду

. (31)

Введя в качестве независимой переменной величину

, (32)

получим вместо (31) уравнение

(33′)

или

,

или

, (33)

где

(34)

совпадает с рассмотренным нами в §2.5 уравнением (21).

Найденные там собственные значения оказались равными

,

а собственные функции (определенные с точностью до постоянного множителя) через обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра :

. (35)

Учитывая, что , получаем:

.

Целое число п называется главным квантовым числом, пr - радиальным квантовым числом, l — азимутальным или орбитальным квантовым числом.

Заменяя λ его выражением согласно формулам (34) и (28), получаем квантованные значения энергии

(36)

. (37)

Они зависят только от главного квантового числа п.

Перейдем теперь к определению собственных функций водородоподобного атома. Для этого в силу формулы (26) нам достаточно найти радиальные функции χ (ρ). Пользуясь формулами (30), (32), (34), (35), (36), можем написать

, (38)

где Ап — нормировочный множитель, определяемый из условия

. (39)

Вычисляя Ап, получаем следующее выражение для нормированных радиальных функций:

. (40)

В силу формул (26) и (19) нормированные собственные функции имеют вид

,

где - нормировочный коэффициент, определяемый формулой (40).

Число т (т = 0, ±1, ±2,..., ±l) называется магнитным квантовым числом. Так как пr всегда неотрицательно (nr = 0, 1, 2,...), то при данном п в силу формулы

п = пr + l + 1

квантовое число l не может быть больше п -1 (l = 0, 1, 2,..., п -1). Поэтому при определенном значении главного квантового числа п число l может принимать n значений: l = 0, 1,..., n -1, а каждому значению l соответствует (2 l + 1) значений т. Отсюда следует, что заданному значению энергии Еп, соответствует n 2 различных собственных функций. Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение кратности п 2.

Найденный нами дискретный спектр отрицательных собственных значений энергии Еп состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения в нуле.

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 873. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Шов первичный, первично отсроченный, вторичный (показания) В зависимости от времени и условий наложения выделяют швы: 1) первичные...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия