Метод Ньютона. В литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризацииВ литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризации. Выбираем начальное приближение С0. Допустим, что отклонение С0 от истинного значения корня С* мало, тогда, разлагая f(C*) в ряд Тейлора в точке С0, получим
Если f ¢ (C0) ¹ 0, то в (8) можно ограничится линейными по DC =C-C0 членами. Учитывая, что f(C*)=0, из (9) можно найти следующее приближение для корня
или для (n+1)- го приближения
Для окончания итерационного процесса можно использовать одно из двух условий ç Cn+1 – Cn ç < e или ç f(Cn+1) ç < e. Исследование сходимости метода Ньютона проводится аналогично предыдущему случаю. Самостоятельно получить, что при выполнении условия ½ f ''(C)/2f'(C) ½ < 1. метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости (
Построение нескольких последовательных приближений по формуле (9) С0, С1, …, Сn = C* приведено на рисунке 3.
|
).
