ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.8

 

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

Цель работы:

 

1. Изучить явление резонанса, используя аналогию между механическими и электрическими колебаниями.

2. Исследовать зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты и построить амплитудно-резонансные кривые.

3. Исследовать зависимость сдвига фазы вынужденных колебаний от частоты и построить фазово-резонансные кривые.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

 

Динамические системы, в которых могут существовать периодические процессы, принято называть колебательными системами. Колебания, происходящие в таких системах, представленных самим себе после некоторого внешнего воздействия, называются свободными. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, приводящие к уменьшению ее энергии. Если убыль энергии не компенсируется работой внешних сил, то свободные колебания будут затухать. Колебания, возникающие и происходящие в таких системах под действием периодически изменяющейся внешней силы, получили название вынужденных колебаний.

При рассмотрении внешнего воздействия, возбуждающего колебания в системе, различают силовые и параметрические воздействия. Силовым называют воздействия, при котором остаются неизменными параметры колебательной системы. Напротив, параметрическое воздействие возбуждает колебания в системе при периодическом изменении ее параметров (например, периодическое изменение длины математического маятника). В случае реальных колебательных систем эти воздействия строго разделить нельзя. Поэтому чисто силовые воздействия на колебательную систему имеет место только при определенных условиях, идеализирующих реальную ситуацию.

Рассмотрим незатухающие колебания материальной точки массой m, возбужденные и поддерживаемые периодически изменяющейся силой с малой амплитудой F₀ и циклической частотой w

(1)

при которой не будет проявляться изменение параметров собственных колебаний материальной точки к и , определяющих соответственно действующие на нее силы упругости и сопротивления

(2)

(3)

где - радиус-вектор частицы относительно положения равновесия, - ее скорость, к и – некоторые положительные константы.

Уравнение движения материальной точки под действием сил (1) – (3) запишется следующим образом

(4)

Выбирая ось х в направлении вектора и проектируя уравнение (4) на эту ось, после очевидного преобразования получим

(5)

или, после почленного деления (5) на m,

(6)

где положено , , .

Параметры и называют соответственно коэффициентом затухания и собственной циклической частотой колебаний (см. лаб. работу №1.6.)

Решением уравнения (6) называют такую функцию , которая обращает его в тождество, т.е. в равенство, справедливое при любом значении аргумента t из области определения функции . Будем искать решение уравнения (6) в виде

(7)

где А и - некоторые константы, выбор значений которых должен обеспечить обращение уравнения (6) в тождество. Для их определения дважды продифференцируем функцию (7) по времени:

(8)

(9)

Подставляя (7), (8) и (9) в (6), получим

(10)

где для краткости введены

, (11)

Раскрывая далее и с помощью известных тригонометрических формул, преобразуем (10) к виду

 

 

Ясно, что это уравнение будет справедливо при любых значениях аргумента t, если положить

(12)

(13)

Возводя уравнения (12) и (13) в квадрат и складывая их, очевидно получаем

или, с учетом (11)

откуда следует, что

(14)

 

Из (14) очевидно вытекает, что если , то

при частоте , где

(15)

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, определяемого формулой

(16)

Таким образом, зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний становится максимальной. Это явление называется резонансом, а частота (15) и амплитуда (16) – соответственно резонансной частотой и резонансной амплитудой.

 

Далее из (13) следует, что

откуда, с учетом (11), получаем

, (17)

Формулы (14) и (17) определяют именно те константы А и , при которых функция (7) является решением уравнения (6).

Следует однако отметить, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка должно содержать две произвольные константы, поскольку определение функции по ее второй производной требует двукратного интегрирования. Найденное же нами решение вида (7) с А и , определяется формулами (14) и (17), такого произвола не содержит. Такое решение дифференциального уравнения называют частным. Частное решение описывает некоторый конкретный процесс из числа всех возможных. Для того чтобы выяснить какой процесс описывается найденным нами решением, необходимо исходить из общего решения уравнения (6). В математике уравнение вида

(18)

где а и b – константы, - заданная функция t, называют линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если функция тождественно равна нулю , то уравнение (18) называется однородным. В противном случае – неоднородным. При этом доказывается, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого – либо частного решения неоднородного.

В нашем случае однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (6), является уравнение вида

(19)

Если , то легко проверить, что его общее решение имеет вид

(20)

где и - некоторые произвольные постоянные, . Поскольку , то функция (20) описывает затухающие колебания с частотой , т.е. .

Таким образом, общее решение уравнения (6) запишется в виде суммы функции (20) и (7), т.е.

(21)

где и определяются из начальных условий , , а и задаются равенствами (14) и (17).

Первое слагаемое в (21) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С ростом t из-за экспоненциального множителя вклад первого слагаемого в сумму все более уменьшается, и по истечении достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (7). Если считать, что и (т.е. покоящиеся материальная точка начинает колебаться под действием вынуждающей силы), то график функции (21) можно изобразить примерно так

 

 

Таким образом, найденное нами решение уравнения (6) в виде функции (7) с и , задаваемыми формулами (14) и (17) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (т.е. с заданными и ) их амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы . При этом вынужденные колебания отстают по фазе от частоты вынуждающей силы на величину , также зависящую от .

График функции и , задаваемых соответственно формулами (14) и (17), для коэффициентов затухания , выглядят примерно так

 

Совокупность кривых, изображающих зависимость амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называются соответственно амплитудно–резонансными (рис.1.8.2) и фазово–резонансными (рис. 1.8.3) кривыми.

В основу настоящей работы положена аналогия между вынужденными колебаниями в механической и электрической колебательных системах. В качестве последней используется последовательный RLC–контур, принципиальная схема которого представленна на рис. 1.8.4

Колебательный процесс в контуре возбуждается и поддерживается с помощью генератора звуковой частоты Г, ЭДС которого изменяется с течением времени по гармоническому закону

 

(11)

где – амплитуда ЭДС, - частота генератора.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний заряда q на обкладках конденсатора С можно, используя закон Ома или правило Кирхгофа, представить в форме, аналогичной уравнению вынужденных колебаний в механической системе:

(19)

где коэффициент затухания

(20)

сообственная частота

(21)

а

(22)

Для установившихся колебаний заряда решение уравнения (19) имеет вид

(23)

где и задаются формулами (14) и (17), в которых , и определяются формулами (20) – (22).

Разделив формулу (23) почленно на емкость конденсатора С найдем напряженние на его обкладках, которое подается на вертикальные отклоняющие пластины кинескопа осциллографа О (рис.1.8.5)

 

 

 

(24)

где

На горизонтальные отклоняющие пластины подается напряжение с генератора Г.

(25)

При сложении взаимноперпендикулярныых колебаний (24) и (25) на экране осциллографа появляется эллипс, уравнение которого (см. лаб. работу №1.6.) запишится так

. (27)

 

 

Ориентация осей эллипса в координатной сетке экрана осциллографа зависит от разности фаз складываемых колебаний , зависящей в соответствии с (17) от частоты вынужденных колебаний (рис. 1.8.6). Это обстоятельство позволяет построить фазово–резонансные кривые (1.8.3). Действительно, для момента времени, когда , из (27) вытекает, что

(28)

где - амплитуда напряжения на конденсаторе, - напряжение на конденсаторе, когда выходное напряжение звукового генератора Г равно нулю. Принимая теперь во внимание, что

получим удобную формулу для расчета фазового сдвига при каждой установленной частоте генератора :

(29)

где знак “+” берется при расположении точек эллипса в A и B квадрантах, и

“-” – при их расположении во II и IV квадрантах (рис.1.8.6).

Значения напряжений и снимаются с экрана осциллографа как показано на рис.1.8.6.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Включить звуковой генератор и осциллограф.

2. Ручками “РЕГ. ВХОДА” звукового генератора и “УСИЛЕНИЕ” осциллографа установить необходимую амплитуду сигнала и поддерживать ее неизменной в процессе измерений.

Примечание. Надо иметь в виду, что при резонансе амплитуда самая большая у самого малого сопротивления. Поэтому необходимую амплитуду сигнала требуется устанавливать при частоте, равной резонансной, так чтобы изображение не выходило за пределы экрана. При резонансной частоте эллипс на экране расположен симметрично относительно вертикальной оси .

3. Для трех различных сопротивлений исследовать зависимость амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты. Построить амплитудно - резонансные кривые. При измерении этой зависимости необходимо выключить К₁ или при его отсутствии вынуть шнур, идуший ко входу усилителя Х (вход расположен на правом боку осциллографа).

4. Исследовать для каждого из трех сопротивлений зависимость сдвига фаз между напряжениями на конденсаторе и на выходе звукового генератора, т.е. между и Е. При этомсдвиг фаз рассчитывается по формуле (29). Построить фазово - резонансные кривые (количество экспериментальных точек не менее 10).

 

Контрольные вопросы.

 

1. С какими новыми для вас понятиями вы встретились в данной работе.

2. В чем заключается аналогия между электрическими и механическими вынужденными колебаниями?

3. Как может выглядеть механическая система для исследования вынужденных колебаний?

4. В каком случае вынужденные колебания в механической системе не возникают?

5. Что такое резонанс? Как его обнаружить в механической или электрической колебательных системах?

6. Как будут выглядеть амплитудно – резонансная и фазово – резонансная кривые для колебательной системы, в которой отсутствует затухание?

7. Как на экране осциллографа получается эллипс и от чего зависит его форма?

 

Литература

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 60 – 61.