Игра двух лиц с нулевой суммой. Bi Ai B1 B2 B3 … Bn A1 α11 α12 α13 … α1n A2 α21

Методы теории игр наиболее развиты для конечной одноходовой игры двух лиц с нулевой суммой (т.е. сумма выигрышей игроков равна 0). Такие игры еще называют антагонистическими.

Пусть и – участники игры. Саму игру опишем с помощью так называемой платежной матрицы (матрицы игры) порядка . Строки этой матрицы – это чистые стратегии игрока , а столбцы – чистые стратегии игрока .

Предполагается, что каждому игроку известны все элементы платежной матрицы.

Элемент определяет результат игры, а именно выигрыш игрока при выборе игроками и стратегий и соответственно.

В этом случае достаточно исследовать только платежную матрицу игрока .

В данной игре игрок стремится выбрать такую строку матрицы, чтобы максимизировать свой выигрыш, а игрок - такой столбец матрицы, чтобы минимизировать свой проигрыш.

 

Bi   Ai	B1	B2	B3	…	Bn
A1	α 11	α 12	α 13	…	α 1n
A2	α 21	α 12	α 13	…	α 2n
…	…	…	…	…	…
Am	α m1	α m2	α m3	…	α mn

Задачей теории игр является нахождение решения игры, т.е. определение для каждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш) независимо от поведения противника.

Ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.

В теории игр наилучшим принято считать поведение игроков, при котором каждый игрок предполагает, что его противник не глупее (принцип разумности).

Если игрок А выбрал стратегию i, то его выигрыш составит

Отсюда максимальный гарантированный выигрыш

.

Стратегия, соответствующая называется максиминной стратегией, а - нижней ценой игры или максимином.

Игрок В, рассуждая аналогично может среди всех своих стратегий выбрать ту, которая обеспечит ему минимальный гарантированный проигрыш.

Стратегия, соответствующая называется минимаксной стратегией, а величина - верхней ценой игры или минимаксом.

Если игрок А будет придерживаться максимаксной стратегии, то он получает выигрыш не меньше максиминного значения, т.е.

Если игрок В придерживается минимаксной стратегии, то его проигрыш будет не больше минимального значения, т.е.

В общем случае отношения между нижней и верхней ценой игры устанавливаются неравенством

Существуют игры, для которых . Элемент платежной матрицы, отвечающей этим стратегиям называется седловой точкой. Ей отвечает цена игры :

Если , то игра выгодна игроку А.

При игра выгодна игроку В.

Если , то игра выгодна обоим игрокам и называется безобидной или справедливой.