Lt;7 е,

я⁴*^е«Г ^ - _кК)^; ₊ (у, - Ш_у? ' ⁽⁷'²²⁾

Ограничимся прямоугольной областью в плоскости ху: [—тН_х, тк_х] по оси х и [— пк_у, пИ_у] по оси у. В этой области (2т + 1)(2я+1) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам. В результате получим матри­цу значений потенциала.

Фиксируем некоторое значение потенциала Ф и построим изолинию, соответ­ствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по /-й горизонталь­ной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние значения потенциала, в которых «захватывают» Ф между собой; признаком этого может служить выполне­ние неравенства (Ф_1к - Ф)(Ф _а+1 - Ф) < 0. Если такая пара узлов найдена, то коор­динату точки, в которой Ф = Ф, найдем приближенно с помощью линейной ин­терполяции:

Ф - Ф^

х = кк_х + ----------- — к_х,

Ф/, *+1 - Ф/А (7.23)

У = гЬ_у.

Найдя в данной горизонтали все такие точки, перейдем к следующей горизон­тали, пока не исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле перебирать / от — п до во внутреннем перебирать к от — т до +т.

После этого следует аналогично заняться поиском нужных точек на вертикаль­ных линиях сетки. Детали процедуры очевидны; формулы, аналогичные (7.23), имеют вид

у = ^Ф" ^Ф'* Ну. (7.24)

Фыл - Ф*

После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те точки на этих линиях, в которых потенциал равен Ф. Проведя — мысленно или на экране (или на бумаге) — кривую, плавно проходящую через ближайшие точки (прибегая, например, к интерполяции сплайнами), получим искомую изоли­нию (разумеется, лишь в том случае, если значение Ф выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой области). Затем берем другие значения Ф и повторяем указанную процедуру, получая таким образом семейство изолиний.

Один из способов построения объемной картины электрического поля состоит в том, чтобы построить системы изолиний в нескольких параллельных равноотстоя­щих плоскостях для одного и того же набора значений потенциала. Квазитрехмер­ная картина совокупности указанных плоскостей с изображенными на них изоли­ниями создает представление об объемной структуре электрического поля.

Для построения изолиний поля, созданного однородно заряженными нитями, пластинами, можно представить их как совокупности большого числа одинаковых «точечных зарядов», в совокупности воспроизводящих форму нити или пластины.

Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простей­шая для изучения теплопроводности система — линейный однородный стержень (рис. 7.5). В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолиро­ванной, т. е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени ^ через и(х, 1). Уравнение теплопроводности имеет вид

₂ Э ²и

э7⁼ эТ⁵" ' ⁽⁷-²⁵⁾

где а — коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми услови­ями, делающими постановку задачи физически однозначной. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (счита­ем его равным нулю):

и{х, 0)=/(х). (7.26)

Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают в простей­шем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня:

и(0, 0 = и\_х=о = и₀(О, = «!, «/ = щЦ). (7.27)

Рис. 7.5. К вопросу о теплопроводности стержня

Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как вре­менного изменения температуры, так и пространственного. Если для простран­ственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппрок­симации, а по времени — схему Эйлера, то величины иI^е = находятся из системы линейных алгебраических уравнений

и^ = и, * + -^г(и, *, - 2и* + и*,), (7.28)

(Ах)²

к = 0, 1,...; / = 1, 2,..., п — 1 — для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального условия и/⁰⁾ = /(х,). Шаг по времени обозначен А/, по простран­ству — Ах.