Нелинейные системы. Автоколебания

 

1. Нелинейные системы. Под нелинейными системами понимают такие колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. В таких системах существуют нелинейные связи, например, между: 1) силой упругости и смещением груза относительно положения равновесия. Это приводит к нарушению закона Гука и к зависимости коэффициента к жесткости системы от смещения , что изменяет собственную частоту колебаний системы; 2) электрическими зарядами конденсатора и создаваемой ими напряженностью поля (сегнетоэлектрик между пластинами конденсатора под действием электрического поля изменяет свою диэлектрическую проницаемость и тем самым приводит к изменению электроемкости конденсатора в зависимости от подаваемого в контур напряжения, т.е. к изменению собственной частоты колебаний контура ) и т.д.

Все физические системы являются нелинейными системами. При малых амплитудах колебаний (при малых отклонениях от положения равновесия) физические системы можно считать линейными, колебания в них описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, что и позволяет построить общую теорию колебаний.

Нелинейные эффекты в физических системах обычно проявляются при увеличении амплитуды колебаний – это приводит к тому, что собственные колебания системы (осциллятора) уже не будут гармоническими, а их частота будет зависеть от амплитуды колебаний. Уравнения движения для них являются нелинейными, а такие системы называют ангармоническими осцилляторами(см. § 5.5).

Действительно, например, для малых отклонений потенциального поля от параболического вида () дифференциальное уравнение колебаний будет иметь вид

,

,

Из записанного дифференциального уравнения видно, что коэффициент жесткости зависит от амплитуды колебаний, что приводит к зависимости угловой частоты свободных незатухающих колебаний системы от амплитуды колебаний .

Для больших отклонений от линейного поведения зависимость усложняется, и поэтому усложняются уравнения описывающие колебания в системе.

Для нелинейных систем, в отличие от линейных, нарушается принцип суперпозиции, согласно которому результирующий эффект от сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга.

Изменение в нелинейных системах формы гармонического внешнего воздействия и нарушение принципа суперпозиции позволяют осуществлять с помощью таких систем генерирование и преобразование частоты электромагнитных колебаний – выпрямление, умножение частоты, модуляцию колебаний и т.д.

Резонанс в такой нелинейной системе будет отличаться тем, что в ходе раскачки осциллятора внешней силой величина расстройки () будет изменяться, так как частота будет зависеть от амплитуды колебаний.

2.Автоколебательные системы. Рассмотрим подробнее один из примеров нелинейных систем - автоколебательные системы.

Преимуществом использования резонансных явлений является их экономичность и большая амплитуда колебаний. Недостатком является нестабильность работы системы, связанная с необходимостью с большой степенью точности поддерживать условие резонанса (), так как любые отклонения частоты внешнего воздействия от резонансной частоты при узкой резонансной кривой резко изменяют амплитуду колебаний в системе (рис. 5.17, а, б).

Для того чтобы избежать таких нежелательных явлений, можно заставить саму систему поддерживать это резонансное условие, такая система является автоколебательной системой. Автоколебательная система относится к группе нелинейных колебательных систем, в которых происходит компенсация диссипативных потерь за счет притока энергии от внешнего постоянного источника. При этом система сама регулирует подвод энергии в систему, подавая ее в нужный момент времени в нужном количестве.

Автоколебательная система состоит из колебательной системы, источника энергии и клапана - устройства, которое регулирует подвод энергии в систему. Работой клапана управляет сама система с помощью обратной связи (рис.5.24, а)

Рис. 5.24

 

В качестве примера автоколебательной системы можно привести систему, состоящую из груза, прикрепленного к двум пружинам и совершающего колебания на металлическом стержне (рис. 5.24, б). Источник постоянного тока с помощью электромагнита за каждый период колебаний совершает работу по увеличению кинетической энергии груза, восполняя потери энергии колебаний на преодоление сил сопротивления.

Это происходит следующим образом. При своем движении металлическая пластина, прикрепленная к грузу, касается контакта-прерывателя (он играет роль клапана), электрическая цепь замыкается и электромагнит притягивает к себе пластину, сообщая при этом дополнительную скорость грузу. Таким образом, в системе возникают незатухающие колебания на частоте с большой амплитудой, которую можно регулировать, меняя положение контакта прерывателя.

Примерами автоколебательных систем могут служить духовые и смычковые инструменты, колебания голосовых связок при разговоре, механические часы. Примером автоколебательной системы в природе является ядерный реактор, который проработал в течение 500 тысяч лет на урановом руднике в Африке 2, 5 миллиарда лет тому назад. Для его работы необходимы были достаточное количество урана-235, который делится под действием медленных нейтронов, и замедлитель нейтронов – вода. В определенный момент времени вода скопилась в достаточном количестве и реактор заработал. Его работу поддерживала цепочка процессов, указанных на рис. 5.25:

 

Рис. 5.25

Такая автоколебательная система работала до тех пор, пока не выгорело ядерное топливо. Здесь источником энергии является деление ядер U-235, клапаном служит изменение температуры воды, а колебательной системой является вода, уровень которой совершает колебания.