Предел дробно-рациональной функции

Если то

если , (39)

т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль.

 

Пример 2. Найти .

Решение. В данном случае мы имеем дробно-рациональную функцию.

Прежде чем применить формулу (39), надо проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х = 3. Проверяем:

,

.

 

Пример 3. Найти .

Решение. Найдем значение знаменателя дроби при х = 1, имеем:

.

Используем формулу (39).

.

 

Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком слу­чае нахождение предела функции требует специального исследования.

Путем рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно записать часто встречающиеся пределы (постоянная а > 0):

1. .

2. .

3. .

4. .

Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами.

Раскрытие неопределенности вида

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отно­шением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х, а затем перейти к пределу.

Пример 4. Найти .

Решение. Подставив непосредственно то значение х, к которому оно стремится, видим, что имеем случай .

Делим числитель и знаменатель дроби на х ³ (наивысшая степень х), находим .

При х ® ¥ , и являются бесконечно малыми. Следовательно, в числителе мы имеем число, близкое к 4, а в знаменателе – бесконечно малое, их отношение будет бесконечно большой величиной, т.е. предел равен ¥.

Пример 5. Найти .

Решение. При х ® ¥ имеем неопределенность . Делим числитель и знаменатель на наивысшую степень х, т.е. х ⁴.

.

Так как при х ® ¥ , и бесконечно малы, то их предел при х ® ¥ равен 0.

Пример 6. Найти .

Решение. .

Разобрав полученные результаты последних трех пределов, можно сформулировать следующие правила вычисления предела при х ® ¥ в случае :

1) предел частного двух многочленов при х ® ¥ равен , если степень числителя больше степени знаменателя.

2) предел частного двух многочленов при х ® ¥ равен 0, если степень числителя меньше степени знаменателя.

3) предел частного двух многочленов при х ® ¥ равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

Раскрытие неопределенности вида

Правило 1. Для того чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при х ® а числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разложить на простые множители, сократить на
(х – а) и перейти к пределу.

Пример 7. Найти .

Решение. При х = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль, полу­чается неопределенность вида . Преобразуем данную функцию, разла­гая на множители числитель и знаменатель по формуле ах ² + bх + с =
= а (х – х ₁)(х – х ₂), где х ₁ и х ₂ – корни уравнения ах ² + bх + с = 0. Подставляя преобразованное выражение и сокращая на (х – 1) ¹ 0, получим:

Правило 2. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, когда предел числителя и знаменателя дроби при х ® а равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, сделать необходимые упрощения и перейти к пределу.

 

Пример 8. Найти .

Решение. При х = 3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на . Получаем:

Пример 9. Найти

Решение. При х = 0 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Избавимся от иррациональности в числителе, умножая числитель и знаменатель на :

 

Раскрытие неопределенности вида (¥ – ¥)

Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или путем преобразования функции к виду дроби.

Пример 10. Найти .

Решение. При х = 2 функция представляет разность двух положи-тельных бесконечно больших величин (случай (¥ – ¥)).

Произведем вычитание дробей и сделаем преобразования.

.

 

Пример 11. Найти .

Решение. При х ® ¥ выражение, стоящее в скобках, есть разность двух бесконечно больших величин. Умножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела, на выражение, сопряженное с , т.е. на . Получим:

При х ® ¥ знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, есть функция бесконечно большая (как сумма двух бесконечно больших величин), поэтому дробь есть величина бесконечно малая. Предел бесконечно малой величины равен нулю.