Уравнения Бернулли

 

Определение. Уравнение вида

 

(1.43)

 

где – непрерывные на некотором интервале функции, действительное число, отличное от 0 и 1, называется уравнением Бернулли.

Делением обеих частей на и подстановкой , где новая неизвестная функция, это уравнение приводится к линейному уравнению

 

.

 

Заметим, что при делении обеих частей уравнения (1.43) на при возможна потеря решения . Это решение является частным, если , и особым, если .

Пример 1 Решить уравнение

.

Решение. Обе части уравнения разделим на , тогда будем иметь:

. (1.44)

Положим , откуда . В силу введенной подстановки уравнение (1.44) можно записать следующим образом:

 

или

(1.45)

 

Последнее уравнение – линейное относительно функции . Его общее решение есть

,

 

где произвольная константа (см. п.1.4., пример 1). Отсюда, учитывая, что , записываем общий интеграл исходного уравнения

.

Так как показатель степени в правой части нашего уравнения равен 2, то потерянное при интегрировании решение является частным.

Замечание. При интегрировании уравнения Бернулли можно также непосредственно применить подстановку или метод вариации произвольной постоянной.

Пример 2 Проинтегрировать уравнение

. (1.46)

Решение. Уравнение (1.46) – это уравнение Бернулли. Положим , тогда (1.46) запишется в виде

 

.

или

.

Функцию выберем так, чтобы . Например, пусть . Подставив вместо в последнее уравнение и учитывая, что , для определения будем иметь уравнение

 

. (1.47)

Последнее уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными, его общий интеграл есть

 

,

откуда

,

где произвольная константа. Следовательно, общее решение ОДУ (1.46) есть

. (1.48)

 

Заметим, что при интегрировании уравнения (1.47) методом разделения переменных мы теряем решение , это ведет к потере решения уравнения (1.46). Так как в правой части (1.46) стоит степень с показателем , то теряемое решение является особым.

Рассмотрим другой способ решения уравнения (1.46), а именно проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Запишем однородное уравнение, соответствующее (1.46):

 

.

 

Его общее решение есть . Пусть С= С (х), тогда общее решение (1.41) будем искать в виде

 

. (1.49)

Подставив и в уравнение, будем иметь

 

,

или

.

Проинтегрировав последнее уравнение, находим

,

или

,

где произвольная константа, . Подставляя С (х) в (1.49), получаем общее решение уравнения (1.49) в форме (1.48)

 

.