Метод ЭйлераРассмотрим дифференциальное уравнение (9.6) с начальным условием . Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек . В методе Эйлера приближенные значения вычисляются по формулам . При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломанной, имеет направление той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку . Если правая часть уравнения в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условиям , , то имеет место следующая оценка погрешности: , где - значение точного решения уравнения при , а - приближенное значение, полученное на n-м шаге в этой же точке. На практике, для оценки точности полученных результатов, применяют двойной пересчет: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного значения в точке оценивают приближенно так:
Пример 9.5. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0; 0.5] с шагом h с точностью до трёх знаков. Выполним это задание в Mathcad
Разделим промежуток интегрирования на 2n частей и пересчитаем значения yi с новым шагом h/2
Решением уравнения является таблица значений уi, найденных в точках отрезка [0; 0.5] с шагом h=0, 01 с точностью до трёх знаков.
Рис 9.1 Решение примера 9.5 в Mathcad методом Эйлера
|