Точки перегиба кривой
Точку, лежащую на кривой10 называют точкой перегиба, если она отделяет участок выпуклости кривой от участка вогнутости (рис. 4.16.4).
Это условие является необходимым, но не достаточным. Достаточное условие состоит в том, чтобы производная f ";(x)при переходе через значение Очевидно, что кривая в точке перегиба переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. величина
Если Если
Отсюда ясно, что достаточное условие точки перегиба состоит в том, что младшая из производных П р и м е р
Находим абсциссы возможных точек перегиба:
Проверяем это значение:
т.е.
|
Если функция 
, т.е. дважды непрерывно дифференцируема, то по одну сторону от точки перегиба f '' (х) < 0, а по другую f '' (х) > 0. Следовательно, для абсциссы точки перегиба 
имеем 
=0. Таким образом, точки перегиба находятся среди точек с такими абсциссами 
должна изменять свой знак. Поскольку
то 
¹0, то 
и d изменяет знак при переходе х через значение 
, т.е. имеем точку перегиба с абсциссой 
, то d знака не изменяет и точки перегиба не будет:
, отличных от нуля, имеет нечетный порядок. Это согласуется с уже выполненным анализом стационарных точек: если m — четное, то в стационарной точке будет экстремум, если m — нечетное, то стационарная точка отвечает точке перегиба.
.
.
,
