Предел и непрерывность

Опр. Число называется пределом функции в точке , если для любого , найдется такое , что из условия: точка является точкой -окрестности т. с выколотым центром вытекает выполнение неравенства

Из определения, очевидно, что если предел функции в точке существует, то он не зависит от пути следования т. к т. .

Пример 1:

.

Показать, что функция не имеет предела в т. .

Решение:

Область определения функции – все точки плоскости ХОУ, кроме т. .

Для того чтобы убедиться, что в т. функция не имеет предел, достаточно заметить, что при приближении переменной точки к т. вдоль биссектрисы 1-го координатного угла значение функции все время остается неизменным и равным 0.

Если же приближаться к т. вдоль каких-либо других линий, то значения функции будут приближаться к другим числам. Так, например, если двигаться вдоль положительной полуоси ОУ , то значение функции остается все время равным -1 (то есть во всех точках этой полуоси ).

Таким образом, при приближении к точке по различным путям функция стремится к различным значениям. Следовательно, функция не имеет предела при .

Аналогично тому, как это делалось для функции одной переменной, можно доказать, что и для функций двух переменных предел суммы двух функций равен сумме их пределов; предел произведения равен произведению пределов сомножителей; предел частного равен частному от деления предела числителя на предел знаменателя (при условии, что предел делителя отличен от нуля).

Отметим также, что разность между функцией, имеющей предел, и ее пределом есть, очевидно, бесконечно малая функция. (функция называется бесконечно малой в точке, если ее предел в этой точке равен 0).

Опр.1 Функция называется непрерывной во внутренней точке области Е, где определена функция, если .

Если учесть, что , , , то определение 1 перейдет в

Опр. 2 Функция непрерывна в точке , если приращение функции стремится к нулю, при стремлении к нулю приращений и , то есть .

Опр. Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке области.

Свойства непрерывных функций

Функции, непрерывные во всех точках некоторой замкнутой ограниченной области, обладают следующими свойствами, которые приведем без доказательств.

Т 1 (об ограниченности функции) Функция , непрерывная в замкнутой, ограниченной области, ограничена в этой области , т.е. , .

Т 2 (о наибольшем и наименьшем значениях функции) Непрерывная в замкнутой, ограниченной области функция принимает в этой области наибольшее и наименьшее значения.

Это означает, что в данной области существуют точки и , что для всех точек имеет место неравенства

и

Говорят, что в точке функция достигает наибольшего значения в данной области, а в точке - наименьшего.

Замечание: Если рассматривать функцию непрерывную не в замкнутой и ограниченной области, то Т 1 и Т2 могут оказаться неверными.

Т 3 (о промежуточных значениях) Пусть функция непрерывна в некоторой области . Тогда каковы бы ни были точки и этой области, для любого числа с, заключенного между и , существует в области такая точка , что .

В частности, если , а , то в области найдется такая точка, в которой значение функции равно нулю.