Тема 3. Средние величины

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических и географических исследованиях, является средняя величина. Средняя величина дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Сущность средней в том и заключается, что в ней компенсируются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Таким образом, средняя – это сводная, обобщенная характеристика статистической совокупности, выражающая размер ее количественного признака, приходящийся на единицу совокупности. По атрибутивным признакам средняя не вычисляется, так как это не имеет смысла (не бывает среднего пола, средней национальности, среднего цвета и т.п.)

Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным:

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным, или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы), тогда с учетом преобразования формулы получим:

где x – значение признака i-той группы, d - доля группы с признаком х_i в общем количестве единиц совокупности.

Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная средняя используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель - в исходной информации отсутствуют веса (частоты). В этом случае среднюю арифметическую применять нельзя. Тогда применяется средняя гармоническая – это средняя, обратная арифметической из обратных значений признака. Расчет средней гармонической взвешенной проводится по формуле:

где W – суммарный признак, представленный произведением (х×f), его можно назвать мнимым весом. Здесь надо не взвешивать, а наоборот искать частное (частоты ).

Средняя гармоническая простая (невзвешенная). Если мнимые веса равны, гармоническая будет простой:

,

где n – число единицсовокупности, х – индивидуальные значения изучаемого признака.

Если, например, грузовая автомашина шла из Уфы в Москву со скоростью 60 км/час, обратно со скоростью 80 км/час, то средняя скорость составит:

Средняя хронологическая. В моментном ряду с равными промежутками между датами средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической:

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчёт среднего показателя, является средняя геометрическая:

невзвешенная:

взвешенная:

Этот вид средней чаще используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста (пример см. в теме «Ряды динамики»).