Решение. 1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки:

1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки:

Подставляя координаты точек , получим:

– уравнение ребра .

Длина стороны равна длине вектора .

ед.

2) Площадь грани равна площади , которую можно найти через векторное произведение по формуле:

кв. ед.

Уравнение грани – это уравнение плоскости через три точки:

Подставляя в это уравнение координаты точек , получим уравнение грани :

3) Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов . Найдем координаты векторов:

Тогда смешанное произведение равно:

куб. ед.

4) Из уравнения грани : найдем координаты вектора нормали , расположенного перпендикулярно плоскости , а значит параллельно высоте, опущенной из вершины .

Используем каноническое уравнение прямой в пространстве:

Подставляя вместо координаты точки , а вместо координаты вектора нормали , получим уравнение высоты:

Длина высоты – расстояние от точки до плоскости . Используем формулу

Получим: ед.

5) Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами .

Имеем:

Заметим, что угол по определению всегда острый. Поэтому, если окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!

6) Угол между гранями и найдем как угол между нормалями к этим граням. Плоскость имеет уравнение и, следовательно, её нормаль . Напишем уравнение плоскости :

Тогда её нормаль . Находим косинус угла между векторами и :

Замечание. Угол по определению всегда острый. Поэтому, если косинус окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!

Ответ:1) ед.;

2) : ; кв. ед.;

3) куб. ед.;

4) – уравнение высоты; длина высоты ед.;

5) 6)