Обобщенные функции. Свертка. Функция корреляции.

Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).

Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция θ(x), определенная следующим образом (рис. 3.1):

Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.

Рис. 3.1. Функция Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ δ, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения δ-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину m, то его плотность

Отсюда следует, что дельта-функция δ (x) обладает свойствами

(3.1)

Свойства этой функции хорошо интерпретируются при рассмотрении фундаментального соотношения

(3.2)

справедливого для любой функции f(x), непрерывной при x = 0.

Заметим, что, строго говоря, δ(x) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (3.1 и 3.2). Но если интерпретировать последнее соотношение как функционал, т.е. как процесс придания функции f(x) значения f(0) то оно становится весьма интересным.

Запись в виде интеграла используется просто как удобная форма описания свойств этого функционала (линейность сдвиг, замена переменных и т.д.).

Таким образом, функцию δ(x) можно рассматривать как обычную функцию, удовлетворяющую всем формальным правилам интегрирования при условии, что все заключения относительно этой функции базируются на выражении (3.2), а не на каком-либо из ее отдельных свойств.

Дельта функцию можно рассматривать как предел

получаемый в результате использования основного соотношения

Следствием данного предела является тождество

Действительно,

Получился, таким образом, некоторый формализм в применении δ-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией θ(x) и функцией δ(x) существует связь

которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим некоторые свойства δ-функции.

Если f(t) не имеет разрывов в точке t, то

Гребенчатая функция

Ряд, состоящий из бесконечного числа δ-функций, сдвинутых относительно друг друга на равные расстояния

называется гребенчатой функцией. При a = 1 имеем:

Гребенчатая функция, как это видно из соотношения симметрична относительно преобразования Фурье:

.

Гребенчатая функция играет важную роль при описании процессов дискретизации сигналов. Процедуру дискретизации (взятие выборок) удобно рассматривать как умножение сигнала f(x) на заданную периодическую последовательность тактовых импульсов, задаваемую функцией Ша(x).

Свертка

Всякая физическая величина характеризуется совокупностью производимых ею функций. Такими эффектами могут быть отклики приборов на воздействие, оказываемое рассматриваемой функцией на входе. Поэтому описание физической величины распределением значений, приписываемых ее пробным функциям из основного пространства, представляется естественным, если эти функции можно отождествить с аппаратными функциями приборов. Это относится и к электромагнитному полю. Описание поля и его источников обобщенными функциями упрощает решение краевых задач оптики, связанных с дифракцией волн на поверхностных неоднородностях. Существуют две возможности использования функционалов в практических применениях теории систем – для описания самой системы и для описания действующего на систему объекта. В качестве последнего может выступать, например, электромагнитное поле. Обе эти возможности используются в физике и технике, а также в метрологии, в частности при установлении соответствия между понятием меры физических объектов, таких как процессы и поля, и общим математическим понятием меры как вполне аддитивной неотрицательной функции множеств.

В оптике свертка – это операция, которая производится измерительными приборами и в результате которой получается размытое (неясное) изображение изучаемого объекта. Изображение точки в любом оптическом приборе никогда не бывает точкой, а представляет собой пятно. Размеры этого пятна определяются качеством прибора. В оптическом приборе изображения двух различных точек будут разделены только при условии, что расстояние между точками превышает некоторую минимальную величину, определяющую возможность разрешения.

Понятие свертки и разрешающей способности можно найти в любой области науки и техники. В радиоэлектронике при поступлении на вход амплитудного анализатора импульса бесконечно малой продолжительности на выходе анализатора наблюдается сигнал конечной ненулевой продолжительности (длительность выходного сигнала определяется шириной полосы пропускания прибора). Аналогичное явление происходит в оптике, когда изображение считывается каким либо фотоэлектрическим преобразователем. Считанное изображение всегда будет отличаться от исходного из-за конечного размера апертуры фотоэлектрического преобразователя. Т.е. происходит свертка распределения интенсивности в изображении с функцией, описывающей форму приемной апертуры фотоэлектрического преобразователя.

Рис. 3.2 Физическая интерпретация свертки

Сигнал на выходе, соответствующий импульсу бесконечно малой продолжительности на входе, называется импульсным откликом. Поэтому любой входной сигнал изменяет свою форму на выходе. Зная импульсный отклик g(x) системы, предполагаемой линейной и стационарной во времени (в этом случае применима теорема сложения сигналов), можно ли по входному сигналу f(x) рассчитать выходной сигнал S(x)? Решение этой задачи осуществляется с помощью свертки.

Рисунок 3.2 иллюстрирует фактическое содержание операции свертки. Входной сигнал f(x) показан на рис. 3.2. а, а импульсный отклик g(x) – на рис. 3.2. б. Для нахождения графика g(x-y), как функции переменной y, необходимо зеркально отобразить график функции g(y) относительно оси ординат, сместить его параллельно оси абсцисс на величину x, произвести поточечное умножение f(y)⋅g(x-y) и проинтегрировать произведение.

Полученное значение интеграла равно значению свертки при аргументе y.

Импульсный отклик g(x) отличен от нуля только на ограниченном промежутке (θ1 θ2,). Уравнение свертки имеет вид:

Для операции свертывания функций роль единичного элемента играет дельта-функция Дирака δ (x).

Корреляционная функция (англ. – correlation function) детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл (в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигналов, сдвинутых друг относительно друга на время τ:

Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией – чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее. Поскольку здесь функция s(t) сравнивается сама с собой, ее называют автокорреляционной функцией.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами:

1. Значение корреляционной функции при τ = 0 равно энергии сигнала, то есть интегралу от его квадрата:

.

2. Корреляционная функция является четной функцией аргумента τ:

3. При τ = 0 корреляционная функция принимает максимальное значение:

4. С ростом абсолютного значения τ корреляционная функция сигнала с конечной энергией затухает:

Поясним физический смысл автокорреляционной функции на примере сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса.

Рис. 3.3. Физическая интерпретация автокорреляционной функции